Estabilidad De Lyapunov

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TEORIA DE LA ESTABILIDAD PARA SISTEMAS
´
DINAMICOS NO LINEALES

YAMID ALEXANDER OSORIO AGUDELO

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
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MEDELLIN
2011

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TEORIA DE LA ESTABILIDAD PARA SISTEMAS
´
DINAMICOS NO LINEALES

YAMID ALEXANDER OSORIO AGUDELO

Trabajo presentado como requisito parcial para optar al T´tulo de:
ı
´
MATEMATICO

Director:
Dr.JAIRO ELOY CASTELLANOS RAMOS
Profesor Universidad de Antioquia

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
MEDELLIN
2011

RESUMEN

Se desarrollara la teor´a de estabilidad para sistemas din´ micos no lineal. Espec´fiı
a
ı
camente, se trataran teoremas de estabilidad de Lyapunov para sistemas din´ micos
a
no lineales invariante en el tiempo. Adem´ s, consideraremostambi´ n teoremas de
a
e
estabilidad para conjuntos invariantes, teoremas inversos de Lyapunov, y teoremas
de inestabilidad de Lyapunov. Finalmente, se presentan varios enfoques sistem´ ticos
a
´
para la construccion de funciones de Lyapunov.

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INDICE GENERAL

´
´
CAPITULO 1 INTRODUCCION

11

´
CAPITULO 2 PRELIMINARES

13

2.1

Notaciones y definiciones . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

13

´
´
´
CAPITULO 3 TEORIA DE ESTABILIDAD PARA SISTEMAS DINAMICOS NO LINEALES

19

3.1

Teor´a de estabilidad de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı

19

3.2

Teoremas de estabilidad de conjuntos invariantes . . . . . . . . . . . .

31

3.3

´
Construccion de funciones Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363.4

Teoremas Inversos de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.5

Teoremas de inestabilidad de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

´
BIBLIOGRAFIA

59

CAP´
ITULO 1

´
INTRODUCCION

En este trabajo se presentaran varias generalizaciones y extensiones de la teor´a de
ı
estabilidad de Lyapunov. En particular, se dar´an teoremas de estabilidadparcial.
ı
Adem´ s presentaremos teoremas de estabilidad para sistemas din´ micos no lineales
a
a
y teoremas de estabilidad avanzada relacionados con funciones de Liapunov gene´
ralizadas. V´a vector funcion Liapunov establecemos estabilidad de conjuntos, estaı
´
bilidad de orbitas periodicas y teoremas de estabilidad.
Consideramos un sistema din´ mico G como un modelo matem´ tico conparticia
a
´
´
pacion de una entrada, un estado y una salida que puede capturar la descripcion
din´ mica de una determinada clase de sistemas f´sicos. En concreto, en cada moa
ı
mento de tiempo t ∈ T, donde T denota el tiempo como un subconjunto de los
reales, el sistema din´ mica G recibe una entrada u(t) (por ejemplo, materia, energ´a
a
ı
´
e informacion) y genera una salida y(t). Losvalores de entrada son tomados de con´
junto fijo U . Por otra parte, la funcion de entrada u : [t1 , t2 ) → U no es arbitraria
sino que pertenece a la clase de entrada admisible U , es decir, por cada u( · ) ∈ U y
´ı
t ∈ T, u(t) ∈ U . La clase de entrada U depende de la descripcion f´sica del sistema.
Adem´ s, cada sistema de salida y(t) pertenece al conjunto fijo Y con y( · ) ∈ Y en
a
unsegmento de tiempo determinado, donde Y denota el espacio de salida. En general, la salida de G depende de tanto la entrada actual de G y la historia pasada de
´
G . As´, el estado, y por lo tanto la salida en algun tiempo t ∈ T, depende tanto del
ı
estado inicial x (t0 ) = x0 y el segmento salida u : [t0 , t) → U . En otras palabras, el
conocimiento tanto de x0 y u ∈ U es necesaria y suficientepara determinar el estado
presente y estado futuro x (t) = s(t, t0 , x0 , u), de G .
En vista a lo anterior, consideramos un sistema din´ mico como objeto matem´ tia
a
´
co preciso definido sobre un conjunto tiempo como una aplicacion entre espacios
vectoriales satisfaciendo un conjunto de axiomas. Un sistema din´ mico consiste del
a
espacio de estados D del sistema junto con una regla o...