Estabilidad de Lyapunov

Capítulo 3

Estabilidad Según Lyapunov. Sistemas Estacionarios
La teoría de estabilidad juega un rol central en teoría de sistemas e ingeniería. En sistemas dinámicos existen distintos tipos de problemas de estabilidad. En este capítulo vamos
a tratar estabilidad de puntos de equilibrio; más adelante en el curso veremos otros problemas de estabilidad, como el de estabilidad entrada-salida.La estabilidad de puntos de equilibrio generalmente se caracteriza en el sentido de Lyapunov, un matemático e ingeniero ruso que estableció las bases de la teoría que hoy lleva su
nombre. Un punto de equilibrio se dice estable si todas las soluciones que se inicien en las cercanías del punto de equilibrio
permanecen en las cercanías del punto de equilibrio; de otro
modo el punto de equilibrio esinestable. Un punto de equilibrio se dice asintóticamente estable si todas las soluciones que
se inicien en las cercanías del punto de equilibrio no sólo permanecen en las cercanías del punto de equilibrio, sino que
Aleksandr Lyapunov
además tienden hacia el equilibrio a medida que el tiempo
1857-1918
se aproxima a infinito. Vemos estas nociones en más detalle
en §3.1, donde presentamostambién los teoremas básicos de
Lyapunov para sistemas estacionarios. En §3.2 damos una extensión de la teoría básica de
Lyapunov que se debe a LaSalle. En §3.3 analizamos región de atracción de un punto de equilibrio, y en §3.4 vemos cómo la estabilidad de un punto de equilibrio puede determinarse
mediante linealización.
Los teoremas de estabilidad de Lyapunov dan condiciones suficientes paraestabilidad
de puntos de equilibrio. Existen teoremas conversos que establecen que, al menos conceptualmente, en los teoremas de Lyapunov muchas de estas condiciones son también necesarias. Trataremos estos teoremas conversos en el capítulo siguiente, junto a extensiones de
los resultados para sistemas inestacionarios.

3.1. El Teorema de Estabilidad de Lyapunov
Consideremos el sistemaestacionario
˙
x = f ( x)

(3.1)

donde f : D → Rn es un mapa localmente Lipschitz desde un dominio D ⊂ Rn en Rn .
¯
¯
Supongamos que x ∈ D es un PE de (3.1), es decir f ( x) = 0. Vamos a caracterizar y estudiar

3.1 El Teorema de Estabilidad de Lyapunov

40

¯
¯
la estabilidad de x. Por conveniencia, vamos a asumir que x = 0 (esto no nos hace perder
¯
˙
generalidad porque, si no esasí, definimos y = x − x y trabajamos con la ecuación y = g( y),
¯ ), que tiene un equilibrio en el origen.)
donde g( y)
f (y + x
Definición 3.1. El PE x = 0 de (3.1) es
estable, si para cada

> 0 existe δ = δ ( ) tal que

x(0) < δ =⇒

x(t) < ,

∀t ≥ 0

inestable si no es estable.
asintóticamente estable (AE) si es estable y δ puede elegirse tal que
x(0) < δ =⇒ l´m x(t) = 0
ı
t→∞Los tres tipos de estabilidad se pueden ver en la ecuación del péndulo (1.4) del Ejemplo 1.2.1. Los PE son (0, 0) y (π, 0). Considerando que no hay fricción, o sea tomando k = 0,
las trayectorias en el entorno del primer PE son órbitas cerradas Empezando suficientemente cerca del PE se puede garantizar que las trayectorias van a permanecer en cualquier bola
pre-especificada alrededor del PE. Por lotanto, el PE es estable. No es AE, sin embargo,
porque las trayectorias que comienzan fuera del PE nunca tienden a él.
Si consideramos fricción (k > 0), el PE en el origen es un foco estable. La inspección
del retrato de fase de un foco estable muestra que el requisito − δ para estabilidad se
satisface; más aún, las trayectorias que comienzan cerca del PE tienden a él cuando t tiende
a ∞. Elsegundo PE en (π, 0) es un punto de ensilladura. Es obvio que el requisito − δ
para estabilidad no se satisface porque, para cualquier > 0, siempre hay una trayectoria
¯
que deja la bola { x ∈ Rn | x − x ≤ }, aún cuando x(0) sea arbitrariamente cercano al
PE.
La Definición 3.1 tiene como condición implícita la existencia de la solución para todo
t ≥ 0. Esta propiedad de existencia global...