Estabilidad De Sistemas Lineales

LABORATORIO N°03: ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES

1. Objetivos:

* Conocer los diferentes criterios que existen para saber si un sistema lineal se puede o no considerar estable.

* Aprender a utilizar los conceptos de margen de ganancia y de fase para el análisis de estabilidad de sistemas lineales.

* Conocer como influye la constante de tiempo, los polos, y el retardo delos procesos en la estabilidad de un sistema lineal.

* Conocer como influye colocar un controlador proporcional antes del proceso, específicamente en el margen de ganancia y de fase.

2. Trabajo a realizar:

I. Usando las herramientas propuestas se pide averiguar la estabilidad relativa de los siguientes sistemas que representan procesos. Justificar la forma de los diagramas deNyquist.

a)

Polos:

Utilizando criterio de polos, se sabe que para que el sistema sea estable; estos polos deben tener parte real negativa. Para hallar estos polos utilizaremos la función “roots” del MAT-LAB, que se encarga de hallar las soluciones de la ecuación característica que corresponde al denominador del proceso.

Código:

>> roots([4 5 6])

ans =

-0.6250 +1.0533i
-0.6250 - 1.0533i

Se concluye entonces que el sistema es estable debido a que los dos polos conjugados que tiene tienen parte real negativa.

Diagrama de Nyquist:

Código:
>> T1=tf(1,[4 5 6],'inputdelay',2)

Transfer function:
1
exp(-2*s) * ---------------
4 s^2 + 5 s + 6

>> nyquist(T1)

Se puede ver quegraficando el diagrama de Nyquist del proceso, la línea no envuelve al punto (-1;0), y según el criterio con el mismo nombre este tipo de procesos se consideran estables.

b)

Polos:

Se comenzará también aplicando el criterio de polos para analizar la estabilidad:
Código:
>> roots([4 5])

ans =

-1.2500

Se puede ver entonces que el sistema es estable debido a que el polo esnegativo.

Diagrama de Nyquist:
Código:
>> T2=tf([1 -1],[4 5])

Transfer function:
s - 1
-------
4 s + 5

>> nyquist(T2)

Con lo cual se comprueba que el sistema es estable debido a que la curva de Nyquist no envuelve al punto (-1;0)

c)

Polos:

Código:
>> roots([1 6 9])

ans =

-3.0000 + 0.0000i
-3.0000 - 0.0000i
Con lo cual se puede ver queel sistema es estable, debido a que sus polos son negativos. Luego lo comprobaremos con su curva de Nyquist.

Diagrama de Nyquist:
Código:
>> T3=tf([1 8],[1 6 9])

Transfer function:
s + 8
-------------
s^2 + 6 s + 9

>> nyquist(T3)

Con este diagrama, además de corroborar que este sistema es estable, podemos ver que nunca podrá ser inestable, concluimos entonces queel margen de ganancia es infinito.

d)

Polos:
Código:
>> roots([1 -5 8])

ans =

2.5000 + 1.3229i
2.5000 - 1.3229i

El sistema tiene polos con parte real positiva, por lo tanto se considerará inestable. Ahora veremos el gráfico en el tiempo.

El sistema es inestable. Se corrobora esto con la gráfica de respuesta en el tiempo.

II. Para cada proceso delapartado anterior, encontrar un controlador que aplicado en realimentación negativa haga que el respectivo sistema a lazo cerrado se torne inestable.

En este caso lo que se hará es colocar un controlador proporcional:

C(S)=Kc

Para el análisis con el criterio de Nyquist, se usa el gráfico a lazo abierto:

Usaremos el margen de ganancia para hallar el “K” del controlador proporcional:F0.K=1 F0.mg=1

Con lo cual usando la gráfica de Nyquist del proceso podremos saber el módulo en el punto (-1;0) y con eso hallar el “K” del controlador, que será la inversa de ese módulo.

a)

Diagrama de Nyquist:

Con lo cual:
K=10.187=5.35

Concluimos entonces que cualquier controlador proporcional con “K” mayores que 5.35 hará inestables al sistema.

Lo comprobaremos con...