Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales

Tema 6.- ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Introducción 2 Sistemas autómonos. Plano de fases 3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales 4 Estabilidad mediante linealización 5 Método directo de Liapunov 1 2 5 12 17

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IntroducciónHasta ahora, en el estudio de las ecuaciones diferenciales, nos hemos centrado en el problema de obtener soluciones, exponiendo algunos métodos de resolución de ciertos tipos de ecuaciones y sistemas diferenciales. En este tema vamos a dar otro enfoque al estudio de las ecuaciones y sistemas diferenciales, planteándonos ahora el obtener información cualitativa sobre el comportamiento de lassoluciones. Este nuevo enfoque tiene un interés obvio debido a dos razones fundamentales: muchas ecuaciones diferenciales no las sabemos resolver e incluso, aunque se pudieran calcular sus soluciones, a veces no es necesario determinarlas explícitamente pues sólo se pretende conocer el comportamiento de las mismas (y puede ser costosa la obtención de dichas soluciones para el estudio que se quiererealizar). Vamos a ver un ejemplo en que se manifiestan estas ideas: Consideremos que x1 (t) y x2 (t) representan las poblaciones, a lo largo del tiempo, de dos especies que compiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados en su microcosmos. Supongamos que las tasas de crecimiento de las poblaciones, x1 (t) y x2 (t), están gobernadas por un sistema de ecuaciones diferenciales µ x1 (t) x2 (t)¶

X0 (t) = f (t, X(t)) donde X(t) =

En la mayoría de los casos este sistema será de tal forma que no sabremos calcular sus soluciones, esto es, no podremos obtener x1 (t) y x2 (t), que nos dirían el número de individuos de cada especie en un tiempo t. Sin embargo, hay algunas propiedades de tipo cualitativo, que son interesantes y a las que con frecuencia pueden darse respuestassatisfactorias sin necesidad de determinar explícitamente las soluciones. Por ejemplo, consideremos las siguientes cuestiones: 1. ¿Hay valores para los cuales ambas especies coexisten en un regimen permanente? Es decir, ¿existen números α, β tales que x1 (t) = α y x2 (t) = β son soluciones del sistema X0 (t) = f (t, X(t))? Si tales valores existen se les llama valores (soluciones) de equilibrio o puntoscríticos. 2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio, e introducimos en un momento t, algunos miembros de una de las especies presentes en el microcosmos donde conviven. ¿Permanecerán las

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poblaciones cerca de los valores de equilibrio para todo tiempofuturo?, es decir, si φ(t) es una solución de equilibrio del sistema X0 (t) = f (t, X(t)), y ψ(t) es otra solución tal que φ(t0 ) está próximo a ψ(t0 ), ¿se verificará que ψ(t) → φ(t) cuando t → +∞?. 3. Si conocemos el número de individuos de cada especie en un tiempo t0 , ¿Cuál será la evolución de las especies cuando transcurre el tiempo? Si no tienden a valores de equilibrio, ¿triunfará una de lasespecies? Veremos, en este tema, que para responder a estas cuestiones no necesitamos resolver el sistema X0 (t) = f (t, X(t)). Para ello, empezaremos en la siguiente sección definiendo los principales conceptos.

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Sistemas autómonos. Plano de fases

donde supondremos que F y G son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas en todo el plano. En este caso, lasfunciones F y G se dicen de clase C 1 en todo R2 (F, G ∈ R2 ). Estas condiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de solución, definida para todo t ∈ R, del problema de valor inicial ½ 0 x(t0 ) = x0 x = F (x, y) y 0 = G(x, y) y(t0 ) = y0 para cualquier t0 ∈ R y (x0 , y0 ) ∈ R2 . El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente t no aparece explícitamente en los segundos...