Estabilidad Por El Método De Lyapunov

Contenido
Introducción 2
Objetivos 2
Desarrollo 3
i) Estable. 3
ii) Asintóticamente Estable. 4
ii) Inestable. 4
Conclusiones 6
Bibliografía 7

Introducción

La estabilidad es el primer objetivo del ingeniero. Sin la estabilidad, el resto de especificaciones (rapidez del transitorio, oscilaciones reducidas, rechazo de perturbaciones, robustez, etc.) carecen de sentido. Para elcaso de sistemas lineales el concepto de estabilidad es claro, su condición necesaria y suficiente es bien conocida (parte real negativa de todos los polos de la función de transferencia o de los auto valores de la matriz de transición de estados) y existen criterios sencillos que permiten analizarla (como los bien conocidos criterios de Routh-Hurwitz y de Nyquist). Sin embargo, en sistemas nolineales el panorama es totalmente distinto: existen diversas definiciones de estabilidad en realidad es preciso hablar de la estabilidad de puntos de equilibrio o de otro tipo de con- juntos y no de estabilidad del sistema y la mayoría de los criterios conocidos proporcionan condiciones suficientes pero no necesarias y, además, no suelen ser métodos sistemáticos como pueden ser los criteriosmencionados en sistemas lineales.
No fue sino hasta 1892 cuando Lyapunov formuló de manera precisa el concepto de estabilidad. El método directo de Liapunov permaneció desconocido para los científicos e ingenieros fuera de Rusia hasta prácticamente 1960.
Una de las múltiples diferencias entre la estabilidad de los sistemas lineales y los no lineales es que en estos últimos puede tener un carácterlocal. En estos casos existe un conjunto de puntos alrededor del punto de equilibrio tales que si el sistema comienza en uno de estos puntos, la evolución del mismo tiende al equilibrio; sin embargo, si el sistema comienza en un punto fuera de este conjunto, la trayectoria divergirá hacia el infinito o hacia otro atractor. Por ejemplo, en el control de sistemas inestables, si la señal de control estasaturada (lo que siempre sucede en la practica) la estabilidad no puede ser global sino solamente local.
La determinación de la cuenca de atracción es muy importante en el análisis: esta regio´ n define la zona de operación segura. Si el sistema se sale de ella, no podrá volver al punto de operación deseado.
Objetivos

* Establecer el concepto de estabilidad para Lyapunov.
*Ejemplificarlo.

Desarrollo

Se consideran sistemas modelados por la ecuación
x˙ = f (x) (1)
Donde x ∈D ⊂ Rn . Se supone, además que el sistema tiene un equilibrio en x = 0, es decir, f(0)= 0. Este es el equilibrio del que se pretende analizar la estabilidad. En los casos en los el equilibrio de interés no este en el origen, mediante un cambio de coordenadas (una simple traslación) es posible llevarel equilibrio al origen.
En (1) la función f no depende del tiempo ni aparece ninguna señal de control. Esto quiere decir que, o bien se pretende analizar la estabilidad de un sistema sobre el que no se puede actuar, o que en el caso de sistemas de control x˙= f (x, u) donde u es la señal de control, el sistema ya contiene un controlador u = u(x) y que la ecuación resultante en bucle cerrado es(1). En este ultimo caso la referencia debe ser constante (posiblemente nula) para que no aparezca el tiempo en f (x). Desde este punto de vista, se puede decir que en el campo del control automático el caso de regulación, con referencia constante, se corresponde con el de sistemas invariantes en el tiempo, mientras que el de seguimiento de referencias variables corresponde a un caso variante enel tiempo.
El equilibrio de 1 se dice ser (en el sentido de Lyapunov):
i) Estable.
Se dice que el equilibrio x = 0 del sistema (1) es (localmente) estable en el sentido de Liapunov, o simplemente estable, cuando para cada ε > 0 existe un valor deδ > 0 (posiblemente dependiente de ε) tal que:

Estabilidad en el sentido de Liapunov
Se observa en el plano una trayectoria que parte...