Estadística II Práctica sobre probabilidad total y Bayes

Gilbert Polanco Martínez
1-12-6902
MAT-140-024


Ejercicios sobre Bayes y Probabilidad total

1. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que unempleado directivo elegido al azar sea ingeniero?


Cantidad
En puestos directivos
Ingenieros
0.2
0.75
Economistas
0.2
0.5
Otros
0.6
0.2

I: ingenieros
E: economistas
Z: empleados que no son ni ingenieros ni economistas (otros)
D: empleados en puestos directivos

Probabilidad total de los empleados directivos:
P(D) = P(I)*P(D/I)+P(E)*P(D/E)+P(Z)*P(D/Z)
P(D) = (0.2*0.75)+(0.2*0.5)+(0.6*0.2)
P(D) =0.15+0.1+0.12 = 0.37
P(D) = 37%

Teorema de Bayes (I):
P(I/D) = P(I)*P(D/I) / P(I)*P(D/I)+P(E)*P(D/E)+P(Z)*P(D/Z)
P(I/D) = 0.15 / 0.37 = 0.405
P(I/D) = 40.5%








2. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso.
a. Seselecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?

 
Producción
Defectuosa
No defectuosa
Máquina A
0.43
0.08
0.92
Máquina B
0.26
0.02
0.98
Máquina C
0.31
0.016
0.984

A: máquina A
B: máquina B
C: máquina C
D: defectuoso
ND: no defectuoso

Probabilidad total de que sea defectuoso:
P(D) =P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)+P(C)*P(D/C)
P(D) = (0.43*0.08)+(0.26*0.02)+(0.31*0.016)
P(D) = 0.0344+0.0052+0.00496 = 0.04456
P(D) = 4.5%

Teorema de Bayes (B):
P(B/D) = P(B)*P(D/B) / P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)+P(C)*P(D/C)
P(B/D) = 0.0052 / 0.04456 = 0.1166
P(B/D) = 11.7%








b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

Probabilidad totalde que no sea defectuoso:
P(ND) = P(A)*P(ND/A)+P(B)*P(ND/B)+P(C)*P(ND/C)
P(ND) = (0.43*0.92)+(0.26*0.98)+(0.31*0.984)
P(ND) = 0.3956+0.2548+0.30504 = 0.95544
P(ND) = 95.5%

Teorema de Bayes (C):
P(C/ND) = P(C)*P(ND/C) / P(A)*P(ND/A)+P(B)*P(ND/B)+P(C)*P(ND/C)
P(C/ND) = 0.30504 / 0.95544 = 0.319
P(C/ND) = 31.9%

3. En la universidad los estudiantes de nuevos ingreso optar por cursar como lenguaextranjera ingles o francés. En un determinado curso el 90% de los alumnos estudian ingles y el resto Francés. El 30% de los que estudian ingles son varones y de los que estudian francés son varones el 40%. Si se elige un estudiante de forma aleatorio, ¿cuál es la probabilidad de que sea hembra?
 
Varones
Hembras
Inglés
0.3
0.7
Francés
0.4
0.6

I: inglés
F: francés
V: varones
H: hembrasProbabilidad total de que sea hembra:
P(H) = P(I)*P(H/I)+P(F)*P(H/F)
P(H) = (0.9*0.7)+(0.1*0.6)
P(H) = 0.63+0.06 = 0.69
P(H) = 69%


4. Una fábrica de botellas cuenta con dos máquinas para producir 10,000 botellas al día. La máquina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales 2% son defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día de las cuales 1% son defectuosas.El inspector de calidad de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la máquina A?
 
Producción
Defecto
Máquina A
0.65
0.02
Máquina B
0.35
0.01

A: máquina A
B: máquina B
D: defectuoso

Probabilidad total de que sea defectuosa:
P(D) = P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)
P(D) = (0.65*0.02)+(0.35*0.01)
P(D) =0.013+0.0035 = 0.0165
P(D) = 1.65%

Teorema de Bayes(A):
P(A/D) = P(A)*P(D/A) / P(A)*P(D/A)+P(B)*P(D/B)
P(A/D) = 0.013+0.0165 = 0.79
P(A/D) = 79%

5. Una fábrica tiene tres máquinas para producir bombillas. La máquina A produce el 35% del total de bombillas, la máquina B produce el 50% y la máquina C produce el 15% de las bombillas. Sin embargo, las máquinas no son perfectas, la máquina A daña el...