Estadística Primer Final

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EXAMEN FINAL

RESOLUCIONES
SEMESTRE 2012 - 2 DURACIÓN MÁXIMA 2.5 HORAS TIPO 1 30 DE MAYO DE 2012

NOMBRE_______________________________________________________________________________ Apellido paterno Apellido maternoNombre (s) Firma Problema 1 La siguiente tabla muestra la estimación de hundimientos de suelo en centímetros, de diez diferentes sitios del Distrito Federal durante el último año. Hundimiento (cm) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] Frecuencia 3 2 1 Frecuencia 3 9 Acumulada Frecuencia Relativa 0.30 0.20 Frecuencia Relativa 0.30 0.90 Acumulada a) Completar los valores faltantes en la tabla. b)Determinar el valor medio de los hundimientos registrados. c) Calcular el valor del coeficiente de variación. Puntos 15

Resolución
a) Como el total de observaciones es de 10, el dato faltante del renglón de la frecuencia debe ser 4 para tener el total de 10. Luego se completa la tabla de frecuencias. Hundimiento (cm) [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] Frecuencia 3 4 2 1 Frecuencia 3 7 9 10 AcumuladaFrecuencia Relativa 0.30 0.40 0.20 0.10 Frecuencia Relativa 0.30 0.70 0.90 1.0 Acumulada b) Para obtener el valor medio de los hundimientos, se debe calcular la media, utilizando la fórmula correspondiente a datos agrupados. Tomando las marcas de clase de 5, 15, 25 y 35, con sus frecuencias 3, 4, 2 y 1 respectivamente. Entonces el valor medio del hundimiento será:

c) Se tiene que el coeficiente devariación está dado por: correspondiente a datos agrupados.

, por lo que falta calcular S, utilizando la fórmula

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entonces S=9.9442 y C.V.=62.15% Problema 2 El sistema contiene siete componentes. Estos se conectan como se muestra en el diagrama. Si los siete componentes operan de manera independiente y si la probabilidad de que cada uno de ellos A, B, C, D, E, F,o G, esté funcionando, es de 0.95, determinar la probabilidad de que el sistema completo funcione.

Puntos 15 Resolución La probabilidad de que el sistema completo funcione, equivale a todas las componentes funcionan, entonces P(Funciona completamente)=(0.95)7 P(Funciona completamente)=0.6983 Problema 3 Supóngase que el error en la lectura del consumo de energía eléctrica en Kw/h, es unavariable aleatoria función densidad que tiene por

a) Calcular b) Determinar de manera analítica y gráfica la función de distribución acumulada y utilizarla para verificar el resultado del inciso a).   c) Obtener la variancia de 15 Puntos

Resolución a) La probabilidad de que el error en la lectura de consumo sea entre cero y uno, es por propiedades se sabe

entonces

b) La función dedistribución se define por la integral con límite superior variable, entonces

sustituyendo

por lo tanto

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2

La gráfica de la función acumulativa es

Para calcular la probabilidad, por propiedades de la función de distribución acumulativa

c) Se pide calcular la variancia, segundo momento con respecto a la media, o bien, en términos de momentos con respecto al origen,se sabe que es el segundo momento con respecto a origen menos el primer momento con respecto al origen al cuadrado, es decir Integrando para calcular los momentos con respecto al origen, de la definición de momentos con respecto al origen, se sabe

sustituyendo

El segundo momento con respecto al origen, se tiene

sustituyendo

al sustituir en la variancia de

se tiene y se sabe que lavariancia de una constante es igual a cero

PyE_ EF1_TIPO1_2012-2

3

Otra forma de calcular la variancia de que obtener la media

, al aplicar variancia en la función de la variable aleatoria, se tiene

=8 entonces el segundo momento con respecto de su media de la función dada, es

por integral de acuerdo con la definición de valor esperado, se tiene

Problema 4 Un examen contiene...