Estadisitica

1. (3) Mediante el experimento del ejemplo 3.3, defina dos variables aleatorias más y haga una lista de los posibles valores de cada una.
R/ M = la diferencia entre el grande y el resultado más pequeños con valores de 0, 1, 2, 3, 4, o 5,
W = 1 si la suma de los dos números resultantes es par y W = 0 en otro caso, un Bernoulli variable aleatoria.

2. (8) Cada vez que se prueba uncomponente es un éxito (E) o Fracaso (F). Supongamos que el componente se prueba repetidamente hasta ocurrir un éxito en tres pruebas sucesivas. Denotemos por Y el número de pruebas necesaria para lograr esto. Haga una lista de todos los resultados a los 5 valores mínimos posibles de Y e indique cuál es el valor de Y asociado de cada uno.
R/ Y = 3: EEE Y = 4: FEEE Y = 5: FFEEE, EFEEE
Y = 6:EEFEEE, EFFEEE, FEFEEE, FFFEEE
Y = 7: EEFFEEE, EFEFEEE, EFFFEEE, FEEFEEE, FEFFEEE, FFEFEEE, FFFFEEE

3. (12) Sea X = numero de neumáticos con baja presión de un automóvil seleccionado al azar.
a. Cuál de las siguientes tres funciones p(x) es una pmf legitima para X y por qué no se permiten las otras dos?

X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
p(x) | 0.3 | 0.2 | 0.1 | 0.05 | 0.05 |
p(x) | 0.4 | 0.1| 0.1 | 0.1 | 0.3 |
p(x) | 0.4 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 |
R/
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
p(x) | 0.4 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.3 |
Ya que ∀xPx=1 y las otras dos no cumplen con la propiedad

b. Para la pmf legitima del inciso a. calcule P(2 ≤ X ≤ 4), P(X ≤ 2) y P(X ≠ 0).
R/ P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= 0.1 + 0.1 + 0.3
= 0.5
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
=0.4 + 0.1 + 0.1
= 0.6
P(X ≠ 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
= 1 – P(X =0)
= 1 – 0.4
= 0.6

c. Si p(x) = c (5 – x) para x = 0, 1, …, 4, ¿cuál es el valor de c? [sugerencia x=0 4px=1.]
R/ P(x) = c (5 – x) x = 0, 1, 2, 3, 4
∀xPx=1
= c(5 – 0) + c(5 – 1) + c(5 – 2) + c(5 – 3) + c(5 – 4)
= 5c + 4c + 3c + 2c + c
= 15c → c =115
Por lo tanto Px=115 (5-x)4. (15) Muchos fabricantes tienen programas de control de calidad que incluyen la inspección de materiales recibidos para verificar que no tengan defectos. Supongamos que un fabricante de computadores recibe tarjetas de computadora en lotes de 5 y se seleccionan dos tarjetas de cada lote para inspeccionarlas. Podemos representar los posibles resultados de procesos de selección por pares porejemplo, el par (1, 2) representan la selección de tarjeta 1 y 2 para inspeccionarlas.
a. Haga una lista de 10 posibles resultados diferentes.
R/ (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 4) (3, 5) (4, 5)

b. Supongamos que la tarjeta 1 y 2 son las únicas defectuosas de un lote de cinco y se van a escoger dos al azar. Defina x como el número de tarjetas defectuosas observadoentre las inspeccionadas. Encuentre la distribución de probabilidad X.
R/ P(X = 0) = p(0) = P[(3, 4)(3, 5)(4, 5)] = 310 = 0.3
P(X = 2) = p(2) = P[(1, 2)] = 110 = 0.1
P(X = 1) = p(1) = 1 – [p(0) + p(2)] = 0.6 y p(x) = 0 si x ≠ 0,1, 2

c. Señale con F(x) la cdf de X. primero defina F(0) = P(X ≤ 0), F(1) y F(2) y después obtenga F(x) para cualquier x.
R/ F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0.30F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0 ó 1) = 0.90
F(2) = P(X ≤ 2) = 1

El cdf es

F(x) = 0 x<00.30 0 ≤x<10.90 1 ≤x<21 2≤x

5. (16) Algunas regiones de California son particularmente propensas a temblores. Supongamos que en una parte de esa región 20% de todos los propietarios de casa está asegurado contra daños portemblores. Cuatro propietarios de casa son seleccionados al azar, sea X el número de propietarios, entre los cuatro, con seguro contra temblores.
a. Encuentre la distribución de probabilidad de X. [sugerencia: denotemos por S a un propietario de casa asegurado y con F a uno sin seguro. Entonces un posible resultado es SFSS, con probabilidad (0.3)(0.7)(0.3)(0.3) y valor 3 asociado a X. Hay otros 15...