estadistica 228

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.
EstadísTICa
Curso Primero
Graduado en Geomática y Topografía
Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía.
Universidad Politécnica de Madrid

Capítulo IV

DISTRIBUCIONES CONTINUAS NOTABLES.

Manuel Barrero Ripoll.

Mª Ángeles Castejón Solanas.

Mª Luisa Casado Fuente.

Luis Sebastián Lorente.

Departamentode Ingeniería Topográfica y Cartografía
Universidad Politécnica de Madrid

2-IV

Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía Geodesia y Cartografía

IV DISTRIBUCIONES CONTINUAS NOTABLES

4

Distribuciones continuas.
4.1

Distribución Uniforme

4

4.2

Distribución exponencial

5

4.2.1 Propiedades
4.2.2 La función de Excel para la Distribución Exponencial.Exp(λ).
4.3

Distribución Normal

7

4.3.1
4.3.2

Propiedades de f(x)

4.3.3

Distribución Normal Estandar

4.3.4

Las funciones de Excel para la Distribución Normal

4.3.5
4.4

Definición

Resumen de funciones de Excel

Normalidad. Métodos descriptivos
4.4.1

4.5

12

Ajuste de una distribución experimental mediante una Distribución Normal

Distribución χ 2 dePearson

14

4.5.1
4.5.2
4.6

Propiedades de la Distribución Chi-Cuadrado de n grados de libertad
Las funciones de Excel para la Distribución Chi-Cuadrado

Distribución t_Student

16

4.6.1
4.6.2
4.7

Propiedades básicas de la distribución t_Student
Las funciones de Excel para la distribución t_Student

Distribución Fisher_Snedecor

18

4.7.1

Propiedades de la distribuciónde Fisher-Snedecor

4.7.2

Las funciones de Excel para la distribución de Fisher-Snedecor

Universidad Politécnica de Madrid

3-IV

4.1 Distribución Uniforme. U( a, b )
Sea X una variable aleatoria que toma valores en el intervalo real [ a, b] . Decimos que X sigue
una distribución uniforme U(a, b) cuando su función de densidad es:
1
b−a

⎧ 1
si a ≤ x ≤ b
⎪
f (x) = ⎨b − a
⎪ 0en otro caso
⎩

a

b

Función de densidad de la v.a. U(a,b).
Figura 4.1.1

La función de distribución de la variable U(a, b) y su gráfica son por tanto

⎧ 0
⎪ x-a
⎪
P (X ≤ x) = F(x) = ⎨
⎪ b-a
⎪1
⎩

si

x0

λ=1
λ=3
λ=5
λ=10

Figura 4.2.1

Su función de distribución es:
x

F ( x ) = P [ X ≤ x ] = ∫ λe−λt dt = 1 − e − λx , con x > 0
0

4.2.1 Propiedades
-

-La media y la varianza de la variable aleatoria exponencial son:
2
2
∞
∞
⎡⎛
1
1⎞ ⎤
1⎞
1
⎛
−λt
2
μ = E [ X ] = ∫ xλe dt = ;
σ = V [ X ] = E ⎢⎜ x − ⎟ ⎥ = ∫ ⎜ x − ⎟ λe−λt dt = 2
λ
λ⎠ ⎥ 0⎝
λ⎠
λ
⎢⎝
0
⎣
⎦
Se dice que la distribución exponencial no tiene memoria. Para cualquier valor de
a>0 y de b>0 se verifica:

(

P X >a+b

P ( X > a ∩ X > a + b ) e −λ( a + b )
= −λa = e−λb = P ( X > b ) .
=
X>a
P (X > a )
e

)

Ejemplo. El tiempo de reparación de cierta avería mecánica tiene una distribución
exponencial de media 50 minutos.
a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor que 40 minutos.
manuel.barrero@topografia.upm.es

Universidad Politécnica de Madrid

5-IV

b) Si el coste de mano de obra es de 50 euros por hora y sefactura por intervalos de 10
minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una reparación cueste 100 euros?
Si definimos una variable aleatoria T que representa el tiempo (en minutos) de reparación y T
1
sigue una distribución exponencial de media μ = = 50 entonces, su función de densidad es:
λ
1
1 − t
f ( t ) = e 50 , t>0 .
50
a) La probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor de 40minutos es:
40

1
1 − 50 t
P ( t < 40 ) = F(40) = ∫ e dt ≈ 0.55067
50
0

b) Una reparación costará 100€ cuando la duración de la reparación sea mayor que 110’ y
menor que 120’. Así pues:
P (110 < t < 120 ) = F(120) − F(110) =

120

1
1 − 50 t
e dt ≈ 0.02009
∫ 50
110

4.2.2 La función de Excel para la Distribución Exponencial. Exp(λ).
En Excel, existe una función para el...