Estadistica aplicada a la Hidrologia

Probabilidad

Distribuciones usadas en hidrolog´
ıa

Tema 2 - Estad´
ıstica aplicada a la
Hidrolog´
ıa
´
Sesion no 1
Manuel D. Garc´ Rom´n
ıa
a
339383201 - Planificaci´n y Gesti´n de Recursos Hidr´ulicos
o
o
a
Grado en Ingenier´ Civil
ıa
Escuela T´cnica Superior de Ingenier´ Civil e Industrial
e
ıa

Manuel D. Garc´ Rom´n
ıa
a
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o
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Distribuciones usadas en hidrolog´
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En la sesion de hoy ...

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Probabilidad

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Distribuciones usadas en hidrolog´
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Distribuciones usadas en hidrolog´
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Los procesos hidrol´gicos evolucionan de formasparcialmente
o
predecible, y parcialmente aleatoria ⇒ procesos estoc´sticos
a
En el estudio de procesos hidrol´gicos se emplean variables
o
estad´
ısticas continuas.
Una muestra es un conjunto de observaciones x1 , . . . , xn de una
variable aleatoria X .

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Distribuciones usadasen hidrolog´
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La probabilidad de un evento ”A” es la posibilidad p (A) de que
ocurra cuando se hace una observaci´n de la variable aleatoria.
o

0/1
1/2
2/3
3/4
4/5
5/6
6/7
7/8
8/9
9/0

Pd m´xima (mm)
a
1980 1990 2000
136,8 95.5
55,3 147,5 66,7
47,3
73,6
81,5
63,6
75 6 121,5
77
68,6
90,5
133,4 60,5
92,5
35
72,5
88
71,5
86,8
107
135,4 140
107
121,8 80,793

Ej: p (Pd max < 70), p (Pd max > 100), p (70 < Pd max < 100)
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Distribuciones usadas en hidrolog´
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Si Pd max es independiente de un a˜o a otro, ¿cu´l es la
n
a
probabilidad de que la Pd no supere los 70mm en dos a˜os
n
consecutivos?
Funci´n de frecuencia relativa:o
fs (xi ) =

ni
,
n

donde ni = #[xi − ∆x , xi ]

Funci´n de frecuencia acumulada:
o
i

F (xi ) =

f (xi )
j =1

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o
o
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Distribuciones usadas en hidrolog´
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A partir de la informaci´n de una muestra, las probabilidades son
o
aproximadas.
Utilizar la distribuciones de probabilidad da resultados m´s
a
precisos.
Funci´n de densidad de probabilidad:
o
f (x ) = nl´
ım
→∞
∆ x →0

fs (x )
∆x

Funci´n de distribuci´n:
o
o
F (x ) = nl´ Fs (x )
ım
→∞
∆ x →0

Se tiene que F (x ) =

x−∞ f (u )

du = p (X ≤ x ).

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o
o
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Distribuciones usadas en hidrolog´
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Par´metros estad´
a
ısticos y estimadores
∞

Media µ = −∞ xf (x ) dx .
Se estima por x = n n=1 xi
¯1i
∞

Varianza σ 2 = −∞ (x − µ)2 f (x ) dx .
1
Se estima por s 2 n−1 n=1 (xi − x )2
¯
iDesviaci´n est´ndar σ , es la ra´ cuadrada de al varianza
o
a√
ız
2
Se estima por s = s
∞

1
Coeficiente de asimetr´ γ = σ3 −∞ (x − µ)3 f (x ) dx .
ıa
n
n i =1 (xi − x )3
¯
Se estima por Cs =
(n − 1)(n − 2)s 3

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Distribucionnormal o de Gauss
f (x ) = √

(x −µ)2
1
e − 2σ2
2πσ

Par´metros: media µ y desviaci´n t´
a
o ıpica σ

Si X es normal con media µ y desviaci´n t´
o ıpica σ , entonces
Z=

X −µ
σ

es normal est´ndar ´ (0, 1)
a
o
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