Estadistica cuartiles

5. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS
MOMENTOS

Una variable aleatoria

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Objetivos
Introducir la idea de una variable aleatoria y su distribuci´
on y sus caracter´ısticas
como la media, la varianza, los cuart´ıles etc.

Para leer
Pod´eis ver los mini-videos de Emilio Let´
on y su equipo sobre Variables
Aleatorios.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Variables aleatoriasHasta ahora, hemos tratado de sucesos, por ejemplo A = “la suma de dos
tiradas de un dado es 7”. Ahora queremos generalizar y tratar de variables,
por ejemplo “la suma de las dos tiradas” o “el n´
umero de llamadas telef´
onicas
en una hora”.
Formalmente, podemos pensar en una variable como una funci´
on que asocia
un valor num´erico a cada suceso elemental del espacio muestral, es decir que
unavariable aleatoria X es una funci´
on
X : ω ∈ Ω → X(ω) ∈

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

❘

Tipos de variables
Existen varios tipos de variables que necesitan tratamientos distintos.
Una variable es discreta si el conjunto de valores posibles un conjunto discreta.
Por ejemplo, X = el n´
umero de cruces en 10 tiradas de una moneda.
Una variable es continua si el conjunto de valores posibles esun continuo o la
uni´
on de varios continuos.
El tiempo exacto hasta que reciba una llamada telef´
onica.
Una variable es mixta si puede tomar algunos valores de un conjunto discreta
y otros valores de uno o m´as conjuntos continuos.
El tiempo que tengo que esperar en la cola antes de recibir servicio.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Variables discretas
Para una variable discreta, se puededefinir directamente una funci´
on de
probabilidad, P (X = x) = ω∈Ω,X(ω)=x P (ω) para cada valor de x.
La funci´
on P (X = x) se conoce como la distribuci´
on de probabilidad de X
X o la funci´
on de masa de X.
Supongamos que lanzamos una moneda con P (cruz) = p un n´
umero n de
veces y definimos X = n´
umero de cruces.

P (X = x) =




n
x

px(1 − p)n−x para x = 0, 1, 2, . . . , n

0
para otrosvalores de x
Esta funci´
on es un ejemplo de una distribuci´
on binomial.


Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Representaci´
on gr´
afica de la distribuci´
on
Supongamos que X se distribuye como binomial con par´
ametros n = 10 y
p = 0.5.

Se ve que la distribuci´
on es sim´etrica y unimodal com moda 5.
La moda de la distribuci´
on es el valor m´as probable.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Aqu´ıvemos otro ejemplo con n = 10 y p = 0.2.

En este caso la distribuci´
on es asim´etrica a la derecha.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Si n = 10 y p = 0.8,

tenemos una distribuci´
on asim´etrica a la izquierda.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Propiedades de la funci´
on de probabilidad
• 0 ≤ P (X = x) ≤ 1 para todo x ∈
•

❘.

i P (X

= xi) = 1 donde se toma el sumatorio sobre todos losvalores
posibles de X, say x1, x2, . . ..

• P (X ≤ x) =

i,xi ≤x P (X

• P (a ≤ X ≤ b) =

= xi).

i,a≤xi ≤b P (X

= xi).

La tercera funci´
on se conoce como la funci´
on de distribuci´
on acumulativa de
la variable.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

La funci´
on de distribuci´
on acumulativa
Para una variable, X, se define la funci´
on de distribuci´
on acumulativa como
F (x) = P (X ≤ x) para x∈

❘.

Ilustramos la funci´
on para la distribuci´
on binomial con n = 10 y p = 0.5.

Teor´ıa Estad´ıstica Elemental I

Propiedades de la funci´
on de distribuci´
on acumulativa
• 0 ≤ F (x) ≤ 1 para todo x ∈

❘.

• F (−∞) = 0 y F (∞) = 1.
• Si h > 0, entonces F (x + h) ≥ F (x) para todo x.
• La funci´
on de distribuci´
on de una variable discreta es una funci´
on escalera.

Teor´ıa Estad´ısticaElemental I

Ejemplo
Supongamos que la producci´
on de un d´ıa de 850 piezas manufacturadas
contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se
seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable
aleatoria X igual al n´
umero de piezas de la muestra que no cumplen. ¿Cu´
al
es la funci´
on de distribuci´
on acumulada de X?
Primero calculamos la funci´
on...