Estadistica de 4 ciclo UNI

Notas de Probabilidades y
Estadística
Capítulos 1 al 12

Víctor J. Yohai
vyohai@dm.uba.ar
Basadas en apuntes de clase tomados por Alberto Déboli, durante el año 2003
Versión corregida durante 2004 y 2005, con la colaboración de María Eugenia Szretter
5 de Marzo de 2008

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Índice general
1. Espacios de Probabilidad.
1.1. Experimentos aleatorios. Algunas consideraciones heurísticas.
1.2. Axiomasde probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. σ− Álgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Espacios de Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. σ− Álgebra generada por una familia de conjuntos. . . . . . .
1.4. Espacios de probabilidad finitos o numerables. . . . . . . . . .
1.5. Probabilidad condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Independencia de eventos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Variable Aleatoria.
31
2.1. Concepto de variable aleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Espacio de probabilidad asociado a una variable aleatoria. . . 32
2.3. Función de distribución de una variable aleatoria. . . . . . . . 35
3. Variables aleatorias discretas y continuas.
41
3.1.Variables aleatorias discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Ejemplos de distribuciones discretas. . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1. Distribución Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2. Distribución Binomial Negativa (o Distribución de Pascal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3. Distribución Geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4. Distribución Hipergeométrica. . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.5. Distribución de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.6. Gráfico de la función de distribución asociada a una
variable aleatoria discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3. Variables aleatorias absolutamente continuas. . . . . . . . . . 49
3.4. Ejemplos de distribuciones continuas. . . . . . . . . . . . . .. 53
3.4.1. Distribución uniforme en un intervalo. . . . . . . . . . 53
3.4.2. Generación de distribuciones a partir de la distribución uniforme en [0,1] ¡. . . ¢. . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.3. Distribución Normal N µ, σ 2 . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.4. Distribución Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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3.5. Variables aleatorias mixtas. . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
4. Vectores aleatorios.
4.1. Definición de vector aleatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Espacio de probabilidad inducido. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Función de distribución conjunta de un vector aleatorio. . . .
4.4. Algunas propiedades de vectores aleatorios. . . . . . . . . . .
4.5. Independencia de variables aleatorias. . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Algunasconsideraciones heurísticas. . . . . . . . . . .
4.5.2. Conservación de la independencia por transformaciones.
4.5.3. Independencia de vectores aleatorios. . . . . . . . . . .

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5. Vectores aleatorios discretos y continuos.
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5.1. Vectores aleatorios discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1. Función de densidad de probabilidad conjunta. . . . . 91
5.1.2.Caracterización de la función de densidad marginal
asociada a un subconjunto de variables. . . . . . . . . 92
5.2. Ejemplos de vectores aleatorios con distribución discreta. . . 94
5.2.1. Distribución Multinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2. Distribución Hipergeométrica Multivariada. . . . . . . 96
5.3. Vectores Aleatorios de tipo absolutamente continuo. . . . . . 98
6.Transformaciones de variables y vectores aleatorios.
6.1. Transformaciones monótonas de variables aleatorias. . . . .
6.1.1. Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Transformaciones inyectivas de vectores aleatorios. . . . . .
6.3. Algunas aplicaciones a la distribución normal. . . . . . . . .
6.4. Transformaciones no inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1. Distribución...