Estadistica descriptiva

Centro Universitario de Tonalá


DISTRIBUCIÓN MUESTRAL NORMAL
La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).  Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss".  La distribución de una variablenormal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por  y .  Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:
Ecuación 1:         

que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos . Así, se dice que una característica  sigue una distribución normal de media  y varianza , y se denota como , sisu función de densidad viene dada por la Ecuación 1.
Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y como se muestra en la , en el eje horizontal se levantan perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas líneas indica la probabilidad de que la variablede interés, X, tome un valor cualquiera en ese intervalo.  Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de éste.




DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LADIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichasmedias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico 

La distribución es aproximadamente normal para n130 y n230. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras.
En ejercicios anteriores se había demostrado que y que ,por lo que no es difícil deducir que  y que .
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:


Ejemplo:
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen unadistribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si  representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.
Solución:
Datos:
1 = 100 libras
2 = 85 libras
1 = 14.142 libras
2 = 12.247 libras
n1 = 20 niños 
n2 = 25 niñas
 = ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el dela muestra de las niñas es 0.1056.

Ejemplo:
Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra...