ESTADISTICA DESCRIPTIVA

ESTADISTICA DESCRIPTIVA.
• Factorial de un número.
• Permutaciones, Combinaciones y ordenaciones.
• Definición de probabilidad y calculo de estas.
• Diagramas de árbol y espacios muestrales.

Permutaciones y Combinaciones:
Se define previamente "n" factorial, el que se denota como
n! ; donde:
n! = n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅(n-3)⋅.............⋅1
En particular, se define 0!= 1
Ejemplo: Al calcular:(a) 3! = 3 · 2 · 1

=6

(b) 4! = 4 · 3 · 2 · 1

= 24

(c) 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

= 720

Permutaciones:
Una permutación de n objetos diferentes tomados de r
en r atiende a todas las formas de ordenar r
objetos entre n dados.
Ejemplos:
(a) Las permutaciones de las letras a,b,c tomadas de dos
en dos son:
ab , ac , ba , bc , ca , cb.

(6 permutaciones)

(a) Laspermutaciones de las letras a,b,c tomadas de tres
en tres son:
abc , acb , bac , bca , cab , cba .
(6 permutaciones)

El número de permutaciones de n objetos diferentes
tomados de r en r se representa por nPr y viene dado por:
n!
n Pr =
(n − r )!

Verifiquemos el número de permutaciones del ejemplo
anterior; así en:

3!
3! 3 ⋅ 2 ⋅ 1
6
= =
=
=6
(a) 3P2 =
(3 − 2)! 1!
1
1
3!
6
3! 3⋅ 2 ⋅ 1
=6
= =
=
(b) 3P3 =
(3 − 3)! 0!
1
1
En particular: n Pn = n!

Combinaciones:
Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en
r atiende a todas las formas de seleccionar r objetos
entre n dados.
Ejemplos:
(a) Las combinaciones de las letras a,b,c tomadas de dos
en dos son:
ab , ac , bc
(3 combinaciones)
(b) Las combinaciones de las letras a,b,c tomadas de
tres entres son:
abc

(1 combinaciones)

El número de combinaciones de n objetos diferentes
tomados de r en r se representa por nCr y viene dado por:
n!
n Cr =
r!(n − r )!

Verifiquemos el número de combinaciones del ejemplo
anterior; así en:
3!
3!
3 ⋅ 2 ⋅1
6
=
=
=
=3
(a) 3C2 =
2!⋅(3 − 2)!
2!⋅1! 2 ⋅ 1 ⋅ 1
2

3!
3!
3 ⋅ 2 ⋅1
6
=
=
= =1
(b) 3C3 =
3!⋅(3 − 3)! 3!⋅0! 3 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 1 6
En particular: n C n = 1

Notar que: ab y ba son la misma combinación, pero
ab y ba son distintas permutaciones, deduciéndose que
si arreglos repetidos se consideran iguales es un
problema de combinación y si arreglos repetidos se
consideran distintos es un problema de permutación.
Problemas:
(a)¿De cuántas formas distintas, se pueden ordenar 7
libros tomados de 4 en 4?
Elnúmero de ordenaciones queda determinado por la
permutación de 7 sobre 4 ; luego:
1
7!
840
7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
= 840
=
=
=
7 P4 =
(7 − 4)! 3!
3 ⋅ 2 ⋅1
1
1
Hay 840 formas distintas de ordenar 7 libros de 4 en 4.

(b)¿De cuántas formas distintas se puede elegir un
comité de 5 personas de entre 9 presentes?
El número de formas de elegir queda determinado por la
combinación de9 sobre 5.

9 C5 =

9!
5!⋅(9 − 5 )!

3 2

3

9!
9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
=
=
5!⋅4! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
1

1 1

= 3·2·7·3
= 126
Hay 126 formas distintas se seleccionar 5 personas de
entre 9.

(c)¿De cuántas formas distintas 8 personas pueden
sentarse en una banca con capacidad para 3 personas?
El número de formas distintas de sentarse quedadeterminado por la permutación de 8 sobre 3.
8!
8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
P3 =
=
=
=
8
(8 − 3)!
5!
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

= 8·7 ·6
= 336
De 336 formas distintas las 8 personas pueden sentarse
de 3 en 3 en tal banca.

(d) Se tienen 8 flores de distinto color.¿Cuántos ramilletes
posibles de tres flores de distinto color se pueden
construir?
El número de ramilletes queda determinadopor la combinación de 8 sobre 3.
4

2

8!
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
8!
=
=
8 C3 =
3!⋅(8 − 3)! 3!⋅5! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
1 1

= 4·7·2
= 56
De 56 formas distintas se puede construir un ramillete
de 3 flores entre 8 dadas.

(e)¿De cuántas formas distintas se pueden estacionar 8
autos en fila?
El número de formas queda determinado por la permutación de 8 sobre 8 ;...