Estadistica Descriptiva

´
CAPITULO 9
´
ESTADISTICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL

´
1. INTERROGANTES CENTRALES DEL CAPITULO
a) Cuando sobre cada individuo se observan simult´ neamente dos caracter´sticas cuantitativas ¿c´ mo se orgaa
ı
o
nizan y representan gr´ ficamente esos datos bidimensionales?
a
b) ¿C´ mo se puede saber si dos variables estad´sticas est´ n relacionadas de forma lineal, exponencial, potencialo
ı
a
o parab´ lica?
o
c) ¿Se puede predecir el valor de una variable sabiendo el valor de otra variable que est´ relacionada con ella
a
de forma lineal, exponencial, potencial o parab´ lica?
o

´
2. CONTENIDOS FUNDAMENTALES DEL CAPITULO

2.1. Tabulaci´ n de los datos
o
Cuando sobre cada individuo de una poblaci´ n se observan simult´ neamente dos caracter´sticas cuantitativas,que
o
a
ı
unidimensionalmente podr´amos representar separadamente por las variables X e Y , entonces se dice que se est´
ı
a
observando una variable estad´stica bidimensional y se representa por (X, Y ).
ı
El conjunto de valores bidimensionales de la variable junto con sus frecuencias asociadas dar´ lugar a la corresa
pondiente distribuci´ n bidimensional de frecuencias.
o
En el caso devariables bidimensionales podemos distinguir dos tipos principales de tablas:
a) Tabulaci´ n en dos columnas (o en dos filas)
o
Si el n´ mero de datos bidimensionales es peque˜ o, los datos se disponen en dos columnas (o en dos filas)
u
n
sobre las que se emparejan los correspondientes valores unidimensionales de una misma realizaci´ n de la
o
variable bidimensional, como se expresa en latabla siguiente:
variable X
x1
x2
.
.
.
xn

variable Y
y1
y2
.
.
.
yn

E STAD´STICA DESCRIPTIVA BIDIMENSIONAL
I

X

Y

A1
A2
.
.
.
Ai
.
.
.
Ar
suma

B1
f11
f21
.
.
.
fi1
.
.
.
fr 1
f∗1

B2
f12
f22
.
.
.
fi2
.
.
.
fr 2
f∗2

257
···
···
···
···
···
···

Bj
f 1j
f 2j
.
.
.
fij
.
.
.
frj
f∗j

···
···
···
···
···
···Bk
f 1k
f 2k
.
.
.
fik
.
.
.
frk
f∗k

suma
f 1∗
f 2∗
.
.
.
fi∗
.
.
.
fr ∗
n

Tabla 9.1: Tabla de doble entrada o de contingencia

b) Tabla de doble entrada o de contingencia
Si el n´ mero de observaciones bidimensionales es grande, clasificamos los n individuos de la muestra en
u
r clases (A1 , . . . , Ar ) respecto de la variable X , y en k clases (B1 , . . . ,Bk ) respecto de la variable Y .
Entonces los datos suelen organizarse en una tabla como la Tabla 9.1, que se denomina tabla de doble
entrada o de contingencia.
u
En la Tabla 9.1, fij es el n´ mero de individuos que pertenecen a la clase Ai de la variable X y a la clase Bj
de la variable Y y se llama frecuencia absoluta conjunta de la clase Ai × Bj de la variable bidimensional
(X, Y ).
Lafrecuencia relativa conjunta de la clase bidimensional Ai × Bj es igual a:
hij =

fij
.
n

(9.1)

2.2. Distribuciones marginales y condicionadas. Independencia de variables
Supongamos que tenemos los datos bidimensionales organizados en una tabla de doble entrada como la Tabla 9.1.
´
u
La suma de las frecuencias absolutas conjuntas de la fila i−esima, fi∗ , es igual al n´ mero deindividuos en la clase
Ai de la variable X , independientemente del valor de Y , y se llama frecuencia absoluta marginal de la clase Ai
de la variable X :
fi∗ = fi1 + fi2 + · · · + fik .
La frecuencia relativa marginal de la clase unidimensional Ai es igual a:
h i∗ =

fi∗
.
n

(9.2)

´
u
An´ logamente, la suma de las frecuencias absolutas conjuntas de la columna j −esima, f∗j , es igual aln´ mero
a
de individuos en la categor´a Bj de la variable Y , y se llama frecuencia absoluta marginal de la clase Bj de la
ı
variable Y :
f∗j = f1j + f2j + · · · + frj .
La frecuencia relativa marginal de la clase unidimensional Bj es igual a:
h ∗j =

f∗j
.
n

(9.3)

´
MATEM ATICAS

258

´
Si de la Tabla 9.1 consideramos la primera y la ultima columna obtenemos la...