Estadistica distribuciones

ESTADÍSTICA II

TEMA II: DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA NORMAL

II.1.- Distribución chi-cuadrado. II.1.1.II.1.2.II.1.3.II.1.4.Definición.

Función de densidad. Representación gráfica. Media y varianza. Función de distribución. Uso de tablas.

II.2.- Distribución F de Fisher-Snedecor. II.2.1.II.2.2.II.2.3.II.2.4.Definición. Función de densidad. Representación gráfica. Media y varianza.Función de distribución. Uso de tablas.

II.3.- Distribución t-student. II.3.1.II.3.2.II.3.3.II.3.4.II.4.- Tablas. Definición. Función de densidad. Representación gráfica. Media y varianza. Función de distribución. Uso de las tablas.

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Tema II

ESTADÍSTICA II

II.1.- Distribución chi-cuadrado (ji-cuadrado).
II.1.1.- Definición.

Sean x1, x2, ..., xn variables independientes quesiguen una distribución N(0,1).

Sea X una nueva variable definida según:

X = x2 + x 2 + ...+ x 2 = ∑ x 2 1 2 n i
i =1

n

en este caso, se dice que X se distribuye como una CHICUADRADO, con n grados de libertad, que representamos como: X → χ2 n

II.1.2.- Función de densidad. Representación gráfica.

La obtenemos a partir de la función de densidad de la distribución GAMMA:

 λα α-1 λ x si x > 0  Γ( α ) X e   f(x)=   0 si x ≤ 0   

        

G(t)= (

λ α ) λ- t

para λ > t

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Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal

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Tema II

ESTADÍSTICA II sustituyendo los valores de α= n 1 y λ= 2 2 en la función de

densidad y generatriz de momentos de la GAMMA, obtenemos las funciones correspondientes de la distribuciónCHICUADRADO.  1 n  2 ( )  1  2 X n -1 e - 2 X si x > 0  2  Γ( n )    2   f(x)=    0 si x ≤ 0           

La

representación

gráfica

de

la

función

de

densidad,

depende de los grados de libertad. Para valores pequeños de n la función de densidad de χ2 tiene una larga cola a n la derecha. Al crecer n, el centro de la distribución se desplaza hacia la derechay la forma de la función de densidad se hace más simétrica; para n grande (n>30) la función χ2 se puede aproximar por una N(n, 2n). n

II.1.3.- Media y varianza.

Se puede demostrar fácilmente con el uso de la función generatriz e momentos y de la relación de la chi-cuadrado con la distribución Gamma que la media de una distribución chi-cuadrado de n grados de libertad vale n y su varianza 2n.II.1.4.- Función de distribución. Uso de las tablas.

La

función

de

distribución 399

de

una

distribución

chi-

Tema II

Distribuciones relacionadas con la Normal cuadrado se obtiene mediante la integral de la función de densidad.

F(x)= P(X ≤ x) = ∫ x f(X) dx 0

para X > 0

Llegando al siguiente resultado 1 n )2 n 1 x -1 - x F(x)= ∫ 0 2 2 dx n X2 e Γ( ) 2 (que como se puede observar no es nada manejable. Es por ello que en vez de trabajar con esta expresión, y tal y como se hizo con la distribución normal, trabajaremos con tablas. Estas tablas pueden informarnos bien del propio valor de la función de la de distribución, de o bien, En el el

complementario

función

distribución.

apartado II.4 de este tema tenemos las tablas de la chicuadradoen la cual se nos da el complementario de la función de distribución. Como se puede observar, la tabla de la chi-cuadrado se encuentra dividida en dos partes. Centrándonos en la primera parte de la tabla (la segunda es totalmente similar en cuanto a interpretación), la primera columna no da los grados de libertad y la primera fila la probabilidad que deja a su derecha el punto que nos indica laparte central de la tabla.

Esto significa que, por ejemplo, el valor de la variable 2.55821 correspondiente a una chi-cuadrado de 10 grados de libertad deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99. Obsérvese que a partir de esta tabla calcular la función de distribución es inmediato. De esta manera, la función de distribución de una chi-cuadrado de 15 grados de

libertad en el punto...