estadistica en la empresa

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
BIVARIANTES

– EJERCICIOS RESUELTOS: GUIA

– ESPACIOS

Dada la función de densidad conjunta
f(x, y) = 24 x2 y (1 – x)

para

0 < x < 1; 0 < y < 1

a) Demostrar que las variables x e y son estadísticamente independientes.
b) Calcular la función de regresión de y dado x.

a) Por definición, dos v. a. son independientes si, y sólo si,
∀ x, y : f(x, y) =f(x) f(y)
Una primera observación que podemos hacer es que esto sólo puede cumplirse si el dominio
donde la func ión f(x, y) es distinta de cero es rectangular (¡demostrarlo!). Si el dominio no es
rectangular, podemos afirmar sin más demostraciones que x e y no son independientes.
Sin embargo, en nuestro caso el dominio (0 < x < 1; 0 < y < 1) es rectangular, así que tendremos
que trabajar...Hallemos las funciones marginales:
+∞

f ( x) =

∫

1

∫

f ( x, y )dy = 24 x 2 y (1 − x )dy = 12 x 2 (1 − x )

−∞

para 0 < x < 1

0

+∞

f ( y) =

1

∫ f ( x, y )dx = ∫ 24x

−∞

2

y (1 − x )dx = 2 y

para 0 < y < 1

0

Vemos que para cualquier par de valores (x, y) podemos expresar la f(x, y) como el producto de
las funciones marginales, ya que en eldominio rectangular:
f ( x) f ( y ) = 12 x 2 (1 − x) 2 y = 24 x 2 y (1 − x) = f ( x, y )
y para el resto de los valores: f(x) = 0, f(y) = 0 y f(x, y) = 0. Luego, x e y son independientes.
b) Recordar que la función o línea de regresión es la esperanza condicional, en este caso, de y
dado x. Para su cálculo podemos hallar primero la función condicional:
f ( y / x) =

f ( x, y ) 24 x 2 y (1 − x )=
= 2 y para 0 < x < 1; 0 < y < 1
f ( x)
12 x 2 (1 − x )
+∞

−∞

E ( y / x) =

1

0

∫ y f ( y / x) dy = ∫ y 2 y dy = 3
2

para 0 < x < 1

Si hubiésemos recordado que las variables son independientes, nos habría os ahorrado un
cálculo, ya que esto implica que f(y / x) = f(y) y luego E(y / x) = E(y) = 2/3.

1

Dada la función de densidad conjunta
0 < x < 1; x2 < y < 1para

f(x, y) = a x

Hallar: a) la función de densidad condicional de y dado x;
b) la varianza condicional de y dado x;
c) P(y > x)

Aunque el ejercicio no lo pide explícitamente, hay que hallar el valor de la constante a:
+∞ +∞

∫ ∫

1 1

∫ ∫ a x dy dx = 4 = 1

f ( x, y ) dx dy = 1 ⇒

−∞ −∞

⇒ a=4

0 x2

f ( x, y )
=
f ( x)

f ( y / x) =

a)

a

4x

=

1

∫4x dy

4x

=

4 x (1 − x )
2

1
1− x

para

2

0 < x < 1; x2 < y < 1

x2

b) Utilizaremos la propiedad de la varianza: σ 2 ( y / x ) = E[ y 2 / x ] − ( E[ y / x]) 2
1

E ( y / x) =

y
1 1 − x 4 1 (1 + x 2 )(1 − x 2 ) 1 + x 2
=
=
dy =
2
2 1− x2 2
2
1− x2
21− x

∫

x

para

0 5 } que es equivalente a { x 2 + y 2 > 25 }. Luego,
debemos integrar la f(x, y)en el recinto { x 2 + y 2 > 25 }:
y

recinto de f ( x , y )

6
5
4
3
2
1
0

l>5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

Resulta, sin embargo, más simple calcular la probabilidad del suceso complementario:
21 25 − x 2

P (l > 5) = 1 − P(l ≤ 5) = 1 −

∫ ∫
3

2

1
dy dx ≅ 0,8757
15

Nota: en el ámbito de la materia no será imprescindible llegar al resultadonumérico, pero sí
plantear la integral (o sumatoria, o cualquier fórmula) que lleve al resultado final.

Dos personas han quedado en encontrarse entre las t1 y las t1 + T horas, pero cada uno no
esperará al otro más de a minuto . ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

Definamos las siguientes variables aleatorias:
X : “hora de llegada de la primera persona”

–

Y : “hora de llegadade la segunda persona”

Como el enunciado no nos da información, podemos suponer que ambas funciones marginales
son uniformes entre t1 y t1 + T:
f ( x) =

1
T

para

t1 < x < t1 + T

;

f ( y) =

1
T

para

t1 < y < t1 + T

Otra vez, para trabajar cómodamente con x e y necesitaremos la función conjunta:
f ( x, y ) = f ( x ) f ( y ) =

1 1
1
= 2
TT T

para

t1 <...