estadistica fermi dirac

Estadistica Fermi-Dirac
La mecánica estadística de Fermi-Dirac se aplica principalmente a partículas
subatómicas y muy particularmente a los electrones, los cuales se rigen por el
principio deexclusión de Pauli según el cual solo dos electrones (con espín
opuesto) pueden ocupar el mismo estado cuántico. A la temperatura del cero
absoluto, no todos los electrones pueden estar en el estado demínima energía;
en lugar de ello, todos los estados de energía están llenos para una energía Єf
denominada energía de Fermi.
dNЄ = g(Є)*f(Є) dЄ
donde g(Є) es la densidad de estados, f(Є) es ladensidad de probabilidad de
ocupación y N el numero de partículas.
Además ‫ ۄאۃ‬ൌ

‫א׬‬ௗே
‫ ׬‬ௗே

la energía media por partícula

En el caso de la estadística de Fermi-Dirac:
ࢌሺ‫א‬ሻ ൌ

૚‫ࢌאିא‬
ࢋ ࢑ࢀ

൅૚

Y g(Є) toma diferentes valores dependiendo del macroestado.
Ejemplos
1.Gas de electrones a T=0K
݃ ሺ‫ א‬ሻ ൌ

ܸሺ2݉ሻଷ/ଶ ଵ/ଶ
‫א‬
ത
2ߨ ଶ ݄ଷ

݂ ሺ‫א‬ሻ ൌ ൛1 ‫א ݅ݏ‬൏‫א‬௙ ห0 ‫א ݅ݏ‬൐‫א‬௙ൟ
Integrando para energías entre cero y la energía de fermi se obtiene:

‫א‬௙ ൌ

ഥ
௛మ
ଶ௠

ሺ3ߨ ଶ ݊ሻଶ/ଷ

ଷ

A su vez calculando la energía media se obtiene ‫ ۄאۃ‬ൌ ‫א‬௙
ହ

Losdesarrollos están explicados en el apunte del profesor

Es importante recordar que al calcular la energía media la integral de dN es N,
pero la integral ЄdN no es ЄN ya que el diferencial dN depende de laenergía
(dN=g*f dЄ).

2. En un
semiconductor
existen bandas de
energía permitidas y
prohibidas como se
muestra en la figura.

Asumiendo que la densidad de estado en la banda de conducción esproporcional a la raíz de la energía y que la energía de Fermi se encuentra en
la mitad de la banda prohibida, determine la cantidad de electrones en la
banda de conducción a temperatura ambiente.Sol. g(Є)= A(Є-Єc)1/2 con A constante
భ

‫ן‬

⇒ ܰ ൌ ‫ א׬ ܣ‬ሺЄ െ Єܿሻమ ݂ሺ‫א‬ሻ݀ ‫א‬
೎

Pero a temperatura ambiente kT ≈ 0 .025eV y Є-Єf ≈ 1eV
⇒ f(Є) ≈ ݁

ି

‫א‬ష‫א‬೑
ೖ೅

Luego...