estadistica gamma

Distribución gamma

En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores es

Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la función gamma es (el factorial de ). En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribición distribución Erlang con un parámetro .El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son


Relaciones
El tiempo hasta que el suceso número ocurre en un Proceso de Poisson de intensidad es una variable aleatoria con distribución gamma. Eso es la suma de variables aleatorias independientes de distribución exponencial con parámetro .


Distribución exponencial

La distribución exponencial esel equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de estetipo de distribuciones son:
El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente;
En un proceso de Poisson donde serepite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su función de densidad es


se dice que sigueuna distribución exponencial de parámetro , .


Figura: Función de densidad, f, de una .


Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,


luego la función de distribución es:



Figura: Función de distribución, F, de , calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.


Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos enprimer lugar la función característica




para después, derivando por primera vez



y derivando por segunda vez,



Entonces la varianza vale





Ejemplo
En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de . Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya desaparecido el de este material?
Solución:El tiempo T de desintegración de un átomo de es una v.a. de distribución exponencial:



Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativasacumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir






Figura: Como el número de átomos (observaciones) es extremadamente alto en 10 gramos de materia, el histograma puede ser aproximado de modo excelente por lafunción de densidad exponencial, y el polígono de frecuencias acumuladas por la función de distribución.



Distribución logarítmica
En teoría de la probabilidad, la distribución logarítmica es una distribución de probabilidad discreta derivada de la expansión en series de Maclaurin

A partir de ella, se obtiene

Por lo tanto, los valores

pueden interpretarse como los pesos de una...