Estadistica_I_22Junio2012_Soluciones

Examen Extraordinario de Estad´ıstica I, 22 de Junio de 2012.
Grados en ADE, DER-ADE, ADE-INF, FICO, ECO, ECO-DER.
NORMAS: 1) Entregar cada problema en un cuadernillo distinto, aunque est´
e en blanco.
2) Realizar los c´
alculos con al menos dos cifras decimales significativas.
3) No se podr´
a abandonar el examen hasta transcurridos 30 minutos depu´
es de haber empezado.
4) No est´
a permitidosalir del aula sin entregar el examen, aunque est´
e en blanco.
1. Con el objetivo de estudiar la temperatura del termostato de refrigeraci´on de un cierto modelo de coche
a los 100 km/h, se toma una muestra de treinta coches de dicho modelo y se mide la temperatura del
termostato de cada coche a dicha velocidad. Los resultados obtenidos son los siguientes (medidos en
grados Celsius):
65.8
77.282.3

69.4
77.6
82.3

69.4
77.6
82.4

69.7
77.9
84.5

71.5
78.3
84.7

72.2
78.7
85.2

74.1
78.9
85.4

75.4
81.2
88.2

75.8
81.2
102.5

76.3
81.7
105.5

(a) (0.5 puntos) Agrupa la muestra en intervalos de amplitud constante empezando por [65, 69) y
calcula la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
Soluci´
on:
La tabla de frecuencias absolutas y relativas para los intervalos solicitados es:Intervalo
[65, 69)
[69, 73)
[73, 77)
[77, 81)
[81, 85)
[85, 89)
[89, 93)
[93, 97)
[97, 101)
[101, 105)
[105, 109)

Frec. abs.
1
5
4
7
8
3
0
0
0
1
1
30

Frec. rel.
1/30
5/30
4/30
7/30
8/30
3/30
0
0
0
1/30
1/30
1

(b) (0.25 puntos) ¿Qu´e porcentaje de observaciones se encuentra entre 78 y 81 grados Celsius?
Soluci´
on:
Puesto que hay tres observaciones, 78.3, 78.7 y 78.9, de 30 observaciones totales,tenemos que
corresponden al 10%.
(c) (1 punto) Calcular los tres cuartiles de la muestra e interpretarlos.
Soluci´
on:
Los tres cuartiles muestrales son:
x( 31 )

= x(8) = 75.4

x( 31 )

=

4

2

x( 93 )
4

x(15) + x(16)
78.3 + 78.7
=
= 78.5
2
2
= x(23) = 82.4

Esto implica que el 25% de las observaciones se encuentra por debajo de 75.4, el 50% de las
observaciones se encuentra por debajo de 78.5 yel 75% de las observaciones se encuentra por
debajo de 82.4. Por lo tanto, los tres cuartiles dividen la muestra de 30 observaciones en cuatro
submuestras que recogen aproximadamente el mismo n´
umero de observaciones.
OBS: Los cuartiles tambi´en se pueden estimar de maneras alternativas. Por ejemplo:
x( 31 )

=

x( 31 )

=

x( 93 )

=

4

2

4

0.25x(7) + 0.75x(8) = 75.075
x(15) + x(16)
78.3 +78.7
=
= 78.5
2
2
0.75x(23) + 0.25x(24) = 82.925

(d) (0.75 puntos) Representar los datos mediante un diagrama de caja (boxplot) e identificar los
posibles datos at´ıpicos. Justificar la respuesta.
Soluci´
on:

En vista del diagrama de caja, existen dos datos at´ıpicos ya que sus valores son mayores que
Q3 + 1.5 × RI, donde RI es el rango intercuartilico.
2. Sea Y una variable aleatoria cont´ınuadefinida en el intervalo [0, 1] con funci´on de densidad:
fY (y) =

4y − 4y 3
0

0≤y≤1
en cualquier otro caso

Se pide:
(a) (0.5 puntos) Obtener la funci´
on de distribuci´on de Y .
Soluci´
on:

FY (y) =









0

0
y

4u − 4u3 du = 2y 2 − y 4 = y 2 2 − y 2

0≤y≤1

0

1

2

y>1

(b) (0.5 puntos) Calcular las probabilidades P 0 < Y <

1
2

yP

1
4


3
4

.

Soluci´
on:

P
P

1
2
1
3 4
4
0
=

FY

=

FY

1
2
3
4

1
22

− FY (0) =
− FY

1
4

=

2−
32
42

1
22

2−

−0=
32
42

−

1
42

7
.
16
2−

1
42

=

11
.
16

(c) (1 punto) Calcular la esperanza y la desviaci´on t´ıpica de Y .
Soluci´
on:

1

y 4y − 4y 3 dy =

E [Y ] =

4 3 4 5 y=1
8
y − y |y=0 =
.
3
5
15

0
1

V [Y ] = E Y

2

2

y 2 4y − 4y 3 dy −

− E [Y ] =

8
15

2

=

2
64
11
y 4 − y 5 |y=1
=
.
y=0 −
3
225
2250

DT [Y ] =

11
225

0.2211.

(d) (0.5 puntos) Calcular la esperanza y la desviaci´on t´ıpica de 2Y + 3.
Soluci´
on:

17
8
+3=
15
5
DT [2Y + 3] = 2DT [Y ] 0.4422.

E [2Y + 3] = 2E [Y ] + 3 = 2

3. Un alumno se presenta a un examen tipo test sin preparaci´on. El examen consiste de 40 preguntas, y
cada una de ellas tiene tres alternativas de las que s´olo una es correcta. El examen se aprueba si...

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