ESTADISTICA PROBABILIDAD

2.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional nos permite ajustar un evento si se sabe que ha ocurrido un evento relacionado con el primero.
Definición 2.5. Sea B un evento del espacio muestral tal que P (B) > 0. Entonces la probabilidad
Condicional del evento A, dado que el evento B ocurrió, se define como la razón
P (A|B) = P (AηB)/ P (B).
De la misma manera se define
P (B|A) = P(AηB) /P(A).
También de la definición de probabilidad condicional se obtiene lo que se conoce como teorema de multiplicación
P (AηB) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A).

Ejemplo 2.5. Supóngase que una oficina hay 100 máquinas calculadoras. Algunas de esas máquinas son eléctricas (E), mientras otras son manuales (M). Además, algunas son nuevas (N), mientras otras son usadas (U). La siguiente tablada el número de máquinas de cada categoría.

E
M
TOTAL
N
40
30
70
U
20
10
30
Total:
60
40
100

Una persona entra a la oficina, escoge una máquina al azar y descubre que es nueva. ¿Cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?
Solución.
Se sabe que la persona escogió una máquina nueva de la 70 y se tienen 40, por lo tanto
P (E|N) =4/7.
Otra forma es calcular la probabilidad que se nueva yeléctrica,
P (E|N) = 0.40 y P(N) = 0.70.
Entonces
P(E|N) = P(E η N)/P(N)
=0.40/ 0.70 = 4/7.

Ejemplo 2.6. Considérese las familias que tienen dos hijos y supóngase que varones y mujeres son igualmente probables. Si se escoge una familia al azar y en la familia hay un hijo varón ¿cuál es la probabilidad de que el otro sea varón?
Solución.
En este caso el espacio muestral es
Ὠ = {(v, v), (v,m), (m, v),(m,m)}.
Donde v es varón, m es mujer y el orden del par es el orden de los nacimientos. Cada uno de los puntos tiene la probabilidad 1/4 . Sean los eventos A: uno de los hijos es varón y B: ambos son varones, entonces
A = {(v, v), (v,m), (m, v)}
y
A = {(v, v)}
como B₡A entonces B = A∩B. Por lo tanto
P(A|B) = P(A ∩B)/ P(B)
=1/3.

Definición 2.6. Se dice que los eventos B1,B2,B3,B4, . . .Bn representauna partición del espacio muestral
si:
1. Bi \ Bj = _ para todo i 6= j.
2.
nS
i=1
Bi =
3. P(Bi) _ 0 para todo i = 1, 2, 3, . . . , n.
Teorema 2.8 (Teorema de la Probabilidad Total). Sea B1,B2,B3, . . . ,Bn una partici´on del espacio muestral
y A un evento de . Entonces
P(A) =
Xn
i=1
P(A|Bi)P(Bi).
Demostraci´on. Es f´acil observar que A es la uni´on disjunta de elementos de , como se muestra enla siguiente
gr´afica.
Universidad Popular del Cesar Humberto Barrios 42
Figura 2.2: A [ B
Esto es:
A = (A \ B1) [ (A \ B2) [ (A \ B3) [ . . . [ (A \ Bn)
donde
(A \ B1) \ (A \ B2 = _; para todo i 6= j
entonces
P(A) =
Xn
i=1
P(A \ Bi) (2.9)
pero tenemos que para i = 1, 2, . . . , n
P(A \ Bi) = P(A|Bi)P(Bi) (2.10)
sustituyendo (2.10) en (2.9), se obtiene
P(A) =
Xn
i=1
P(A|Bi)P(Bi).
Ejemplo 2.7.Cierto art´ıculo se hace en una de tres f´abricas, digamos 1,2 y 3. Se sabe que la primera
produce el doble de art´ıculos que la segunda. Tambi´en se sabe que la segunda y la tercera producen el mismo
n´umero de art´ıculo(durante un periodo de producci´on espec´ıfico). Se conoce tambi´en que el 2% de los art´ıculos
producidos por cada una de las dos primeras son defectuosos; mientras que 4% de losmanufacturados por
la tercera son defectuosos. Todos los art´ıculos se colocan en una fila y se escoge uno al azar. ¿Cu´al es la
probabilidad de que este art´ıculo sea defectuoso?
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Soluci´on.
Definamos los siguientes eventos:
A = {el art´ıculo es defectuoso}
B1 = {el art´ıculo proviene de la f´abrica 1}
B2 = {el art´ıculo proviene de la f´abrica 2}
B3 ={el art´ıculo proviene de la f´abrica 3}.
Entonces para i = 1, 2, 3
(A \ B1) = {el articulo es defectuoso y proviene de la f´abrica i}
Luego
A = (A \ B1) [ (A \ B2) [ (A \ B3)
por otra parte se tiene que
P(A|B1) = 0.02
P(A|B2) = 0.02
P(A|B3) = 0.04
P(B1) = 0.5
P(B2) = 0.25
P(B3) = 0.25.
Reemplazando los valores anteriores en
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)(B3)
se obtiene
P(A) =...