Estadistica Problemas

Ejercicios de Probabilidad resueltos. Enero 2013
1. Los sucesos A1 , A2 , A3 denotan el funcionamiento de las impresoras 1, 2 y 3 respectivamente. Expresar
en t´rminos de A1 , A2 y A3 los siguientes sucesos:
e
B : ”No funciona ninguna impresora”
C : ”Funciona alguna impresora”
D : ”Funcionan todas las impresoras”
E : ”Funcionan al menos dos impresoras”
F : ”Funcionan solamente dosimpresoras”
´
SOLUCION
¯
¯
¯
B = A1 ∩ A2 ∩ A3
C = A1 ∪ A2 ∪ A3
D = A1 ∩ A2 ∩ A3
E = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ A3 ) ∪ (A2 ∩ A3 )
¯
¯
¯
F = (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) ∪ (A1 ∩ A3 ∩ A2 ) ∪ (A2 ∩ A3 ∩ A1 )
2. Sean E, F y G, tres sucesos. Encontrar una expresi´n formal para los siguientes sucesos:
o
a ) S´lo F ocurre.
o
b ) Ocurren E y F , pero no G.
c ) Ocurre, al menos, uno de los tres.
d ) Ocurren, almenos, dos de los tres.
e ) Ninguno ocurre.
f ) Como mucho ocurre uno.
g ) Como mucho ocurren dos.
h ) Ocurren los tres.
´
SOLUCION
a) F ∩ E ∩ G
b) E ∩ F ∩ G
c) E ∪ F ∪ G
d ) (E ∩ F ) ∪ (E ∩ G) ∪ (F ∩ G)
e) E ∩ F ∩ G
f ) (E ∩ F ) ∪ (E ∩ G) ∪ (F ∩ G)
g) E ∩ F ∩ G
h) E ∩ F ∩ G
3.

a ) Halla el n´mero de palabras de 4 letras que se pueden formar con las letras de la palabra
u
CRISTAL.b ) ¿Cu´ntas de ellas contienen s´lo consonantes?
a
o
c ) ¿Cu´ntas empiezan y terminan por consonante?
a
d ) ¿Cu´ntas empiezan por vocal?
a

e ) ¿Cu´ntas contienen la letra L?
a
f ) ¿Cu´ntas empiezan por T y terminan por vocal?
a
g ) ¿Cu´ntas empiezan por T y tambi´n contienen S?
a
e
h ) ¿Cu´ntas contienen ambas consonantes?
a
´
SOLUCION
a ) V7,4 = 840
b ) V5,4 = 120
c )V5,2 · V5,2 = 400
d ) 2 · V6,3 = 240
e ) 4 · V6,3 = 480
f ) 2 · V5,2 = 40
g ) 3 · V5,2 = 60
h ) V5,2 · V4,2 = 240
4. Se realizan extracciones sucesivas en una urna que contiene 10 bolas. Si el orden en que se sacan las
bolas es relevante, calcula de c´antas formas diferentes pueden extraerse
u
a ) 3 bolas con sustituci´n.
o
b ) 3 bolas sin sustituci´n.
o
c ) 4 bolas con sustituci´n.
od ) 5 bolas sin sustituci´n.
o
´
SOLUCION
a ) V R10,3 = 103
b ) V10,3 = 720
c ) V R10,4 = 104
d ) V10,5 = 30240
5.

a ) Halla el n´mero de palabras diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra
u
MARACA.
b ) ¿Cu´ntas de ellas empiezan y terminan por A?
a
c ) ¿Cu´ntas tienen tres aes juntas?
a
d ) ¿Cu´ntas empiezan por A y terminan por M?
a
´
SOLUCION
6!= 120
3!
b ) 4! = 24

a)

c ) 4 · 3! = 24
4!
d)
= 12
2!

6. Un examen consta de trece cuestiones. Es obligatorio resolver diez de ellas.
a ) ¿Cu´ntas formas se tiene de escoger las diez?
a
b ) ¿Cu´ntas, si las dos primeras son obligatorias?
a
c ) ¿Cu´ntas, si una de las dos primeras es obligatoria?
a
d ) ¿Cu´ntas, si se tienen que resolver exactamente tres de las cincoprimeras?
a
e ) ¿Cu´ntas, si se tienen que resolver por lo menos tres de las cinco primeras?
a
´
SOLUCION
a ) C13,10 =
b ) C11,8 =
c) 2 ·
d)
e)

11
9

13
= 286
10
11
= 165
8
= 110

5
8
·
= 80
3
7
5
8
5
8
5
8
·
+
·
+
·
3
7
4
6
5
5

= 276

7. A designa el suceso conseguir una suma impar al lanzar dos dados y B el suceso obtener por lo menos
un 6.
Definir enlenguaje ordinario cada uno de los sucesos siguientes:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
¯
c) A ∩ B
¯
d) A ∩ B
¯¯
e) A ∩ B
¯
f) A∪B
y calcular sus probabilidades, suponiendo los dados bien construidos.
´
SOLUCION:
a ) 1) Obtener un 6, por lo menos, o una suma impar.
2) Obtener una suma impar y, al menos, un 6.
3) Obtener una suma impar y ning´n 6.
u
4) Obtener una suma par y, al menos, un 6.
5)Obtener una suma par y ning´n 6.
u
6) Obtener un 6, por lo menos, o una suma par
b ) El espacio muestral consta de 36 elementos.
A consta de 18 elementos.
B consta de 11 elementos.
A ∩ B consta de 6 elementos.

1) P (A ∪ B ) = 23/36
2) P (A ∩ B ) = 1/6
3) P (A ∩ B ) = 1/3
4) P (A ∩ B ) = 5/36
5) P (A ∩ B ) = 13/36
6) P (A ∪ B ) = 2/3

8. Sean A y B sucesos tales que
P ( A) =...