ESTADISTICA Y PROBABILIDAD









ESTADISTICA Y PROBABILIDAD
TEMA 1: MEDIDAS CENTRALES









1. Cuartiles, Deciles y Percentiles
Cuando la distribución contiene un numero alto de intervalos o de marcas de clase y se requiere un promedio de un parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes. En el primer caso ser habla de Cuartiles, en el segundo se denominaDeciles y en el ultimo Centiles o Percentiles.

Cuartiles: Se obtienen tres valores de la variable que separan a la frecuencia total (n o N) de la distribución correspondiente en cuatro partes, por lo tanto se obtendrán los:
Q1 (primer cuartil) Q2 (segundo cuartil) Q3 (tercer cuartil)
El primer cuartil es aquel valor de la variable que supera el 25% de las observaciones y a la vez essuperado por el 75%
El séptimo decil es aquel valor que supera el 70% y superado por el 30% de los valores observados.
El percentil cuarenta el valor supera el 40% y es superado por el 60%.

Media Geométrica: Mo = G = Mg

Se considera una medida de posición, simbolizada indistintamente por Mo y Mg y su resultado al ser calculado debe estar comprendido entre la media armónica y mediaaritmética.
Ventajas
Se define rígidamente por una formula matemática.
Se utiliza cuando se quiere dar importancia a valores pequeños de la variable.
Es sensible a cualquier cambio en los valores de la distribución.
Su valor no es muy influenciable por datos extremos grandes, como sucede con los otros promedios.
Es indispensable cuando se desea sacar el promedio de una serie de valores que estándados en progresión geométrica o aproximadamente geométrica.
Su resultado puede ser usado en trabajos estadísticos posteriores, puesto que los promedios geométricos de diferentes muestras, pueden ser combinados para obtener el promedio geométrico del total de las muestras.

Desventajas
El promedio geométrico tiene desventajas muy serias.
La primera de todas, es la complicación de su cálculo.Cualquier dato de la serie original es 0, el promedio toma el valor 0 (usando la formula de raíz de la productoria de los valores de la serie)
Si un valor de la serie es negativo, el promedio geométrico puede ser negativo o imaginario y cuando el número de datos es par, teóricamente tiene dos valores: uno positivo y otro negativo.
Datos no Agrupados
(Mo ). La media geométrica de dos númerosX1, X2 , es igual a la raíz cuadrada de su producto.

Mo = X1 . X2
Lo anterior puede extenderse a más de dos números, siendo la media geométrica la raíz enésima del producto de esos números

Mo = X1 . X2 . X3 . X4
Mo = X1
Ejemplo 1
Supongamos que se tiene 5 observaciones (n=5) cuyos valores son:
X1 = 6 X2 = 4 X3 = 8 X4 = 2 X5 = 5

Calcular la media geométrica Mo= Mg = 6.4.8.2.5 = = 4.54

Los problemas que se presentan con la aplicación de esta fórmula, son:
A. Si un valor es cero el producto será cero y su raíz cero.
B. Si un valor es negativo, el producto será negativo y se tendrá una raíz imaginaria
C. Y que n sea grande, será tedioso el cálculo.
Frente a la situación anterior, se debe trabajar con logaritmos. Veamos:
Mo = Xi = Mo = Xi1/n log Mo = reemplazando con los valores dados en el ejercicio anterior se tendrá que:
Log Mo = =0.65666
Mo = Antilog de 0.65666 = 4.54 los resultados son exactamente iguales.
Datos Agrupados
Ejemplo 2
Supongamos los siguientes datos X: 2,3,5,2,2,3,5,2,3,2 aplicando la fórmula para datos sin agrupar, se tiene:
Mo = 2.3.5.2.2.3.5.2.3.2 = 2.71 (Si lo ordenamosobtenemos el mismo resultado)
Mo = 25.33.52 = 2.71
Equivale a considerar a 2, 3 y 5 como los valores que toma la variable, y los exponentes 5, 3 y 2 corresponderá a las frecuencias absolutas, es decir:
yi
ni
Yini
2
3
5
5
3
2
32
27
25
∑
10

Xi
fi
Xifi

La formula quedara
Mo = ini G = ifi
G = Mo y1ni * y2n2 * y3n3 *……… ymnm
G = Mo 25.33.52 = 2.71

El...