estadistica y probabilidades


Unidad III


objetivos de aprendizaje

Al finalizar la unidad el alumno podrá :

“Expresar el concepto de medidas de tendencia central.
Enunciar la definición de media aritmética.
Calcular la media aritmética para datos agrupados y no agrupados.
Mencionar la definición de media ponderada.
Calcular la media ponderada.
Interpretar el valor de la media aritmética.
Citar ladefinición de moda.
Calcular la moda para datos agrupados y no agrupados.
Interpretar el valor de la moda.
Enunciar la definición de la mediana.
Calcular la mediana para datos no agrupados y agrupados.
Interpretar el valor de la mediana.”

Medidas de Tendencia Central (Media, Moda, Mediana)

Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de unavariable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión. A su vez analizaremos la forma de la distribución mediante las medidas de forma. El histograma de frecuencias ya nos daba una representación visual de las tres propiedades másimportantes de los datos muestrales relativos a variables: la forma de su distribución, su tendencia central y su dispersión. Ahora se trata de cuantificar estos conceptos.

Medidas de Posición

Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar sudistribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. El valor de la variable elegido para representar a una distribución se llama promedio o medida de posición y es un valor representativo de todos los valores que toma la variable. Debe hallarse entre el mayor y elmenor valor de la variable.
Pero estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que lean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerara como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo unica para cada distribuciónde frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se relacionan las medidas de posición más comunes utilizadas en estadística.

Media aritmética: Se define como la suma de todos los valores de la distribución dividida por el número total de datos. La expresión matemática que representa la media aritmética coincide con el momento de primer orden respecto al origen.Pero esto solo es valido en el supuesto más sencillo en que los datos de la variable estén sin agrupar. En el caso de que tuviésemos una distribución con datos agrupados en intervalos, los valores individuales de la variable serían desconocidos y, por tanto, no podríamos utilizar la formula anterior. En este supuesto los datos estarán agrupados en clases, y se postula la hipótesis de que el puntomedio del intervalo de clase (marca de clase) representa adecuadamente el valor medio de dicha clase, y aplicaríamos la formula original de la media simple para dichos valores. En el caso de que la variable presente valores anormalmente extremos, éstos pueden distorsionar la media aritmética, haciéndola incluso poco representativa. A los estadísticos que no son afectados por los valores extremosde la muestra se les denomina estadísticos robustos. La media no es un estadístico robusto. Como veremos posteriormente, este inconveniente no lo posee la mediana.
Si la distribución de frecuencias es (x,n), siendo x los valores de la variable o las marcas de clase, y siendo n las frecuencias absolutas, la media aritmética, que representaremos por , se define como sigue:



Ejemplo
Se han...