Estadistica

Cap´ ıtulo 2 Pruebas de bondad de ajuste.
2.1 Pruebas de ajuste simples.

Dadas las observaciones (X1 , . . . , Xn ) independientes, con distribuci´n F , deo seamos probar la hip´tesis nula H0 : “F = F0 ”. En principio, la hip´tesis o o alternativa ser´ H: “F = F0 ”, pero es posible que dentro de esta alternativa a m´ltiple haya algunas distribuciones para las que nos interese especialmente uque la prueba tenga una buena potencia. A la hip´tesis H0 se la llama hip´tesis de ajuste de la distribuci´n F0 al o o o modelo del cual proviene la muestra. Las pruebas de H0 se llaman pruebas de ajuste. A lo largo del Siglo XIX, los modelos aleatorios se volvieron cada vez m´s a frecuentes y cada vez m´s necesarios para describir la naturaleza. Un modelo a se consideraba adecuado en tanto nopresentara incoherencias evidentes con los resultados de la experiencia. Reci´n en 1999 surgi´ la primera prueba de ajuste, a partir de la cual los e o cient´ ıficos pudieron poner a prueba sus modelos e incluso seleccionar entre varios modelos propuestos para un mismo fen´menos, cu´les con adecuados y o a cu´les no lo son. Esa primera prueba es la llamada prueba χ2 de Pearson. a

2.2Generalidades sobre las pruebas de ajuste.

Para decidir si se rechaza H0 :“F = F0 ” a partir de la informaci´n dada por o la muestra aleatoria simple X1 , . . . , Xn de F , resulta natural estimar F por medio de la muestra, y comparar la estimaci´n con F0 . o El estimador de m´xima verosimilitud de F es la distribuci´n de probabilia o 17

Enrique M. Caba˜a. n Cap´ ıtulo 2: Pruebas de bondad de ajuste.ˆ ˆ dades F para la que, si Y1 , . . . , Yn es una muestra de F , entonces la probabilidad de que resulte {Y1 , . . . , Yn } = {X1 , . . . , Xn } es m´xima. Esta probabilidad es a ˆ tiene probabilidades p1 , . . . , pn concentradas en X1 , . . . , Xn , positiva s´lo si F o y vale n! n pi , cuando las Xi (i = 1 . . . , n) son todas diferentes. i=1 El m´ximo de este producto, con la condici´n n pi ≤1, se produce a o i=1 cuando todas las probabilidades son iguales: p1 = . . . = pn = 1/n. ˆ Como consecuencia, F es la distribuci´n emp´ o ırica Fn . Cuando Fn es cercana a F0 , no hay razones para rechazar H0 . En cambio, cuando Fn dista mucho de F0 , vamos a rechazar H0 . No debe extra˜arnos entonces que las pruebas m´s utilizadas tengan como n a regi´n cr´ o ıtica {(X1 , . . . , Xn ) : d(Fn ,F0 ) > constante}, donde d es una distancia entre probabilidades, o una seudo - distancia, como suele llamarse a una funci´n con las propiedades de una distancia, excepto la que establece que o d(F, G) = 0 implica F = G. Las pruebas que incluimos en las secciones siguientes resultan de elegir adecuadamente d. La primera de ellas ha sido analizada en §??. Las otras dos han sido presentadas en §??,en el marco de aplicaciones del proceso emp´ ırico, y ahora las estudiaremos con mayor detenimiento. 18

2.3

Prueba χ2 de ajuste.

Para probar la hip´tesis H0 “F = F0 ” a partir de una muestra aleatoria simple o X1 , . . . , Xn de F , Karl Pearson propuso el siguiente procedimiento, que es en ˜ realidad una prueba de H0 “Para cada uno de los intervalos I de una partici´n o finita P de R, secumple F (I) = F0 (I)”, y, como consecuencia, una prueba aproximada de H0 en la medida que la partici´n P sea suficientemente fina. o Llamemos p0 al vector de las probabilidades F0 (I) correspondientes a los ˜ intervalos de P, y p al de las probabilidades F (I). Entonces, H0 equivale a “p = p0 ”. Esta ultima es una hip´tesis simple sobre el par´metro p de la distribuci´n ´ o a o multinomial(n, p) delvector M cuyas componentes son las frecuencias M (I) = nFn (I) = n 1{Xi ∈I} , I ∈ P. i=1 Denotemos ahora P = {I1 , . . . , Ik }, y p0,j = F0 (Ij ), Mj = M (Ij ). El estad´ ıstico de Pearson es
k (nFn (Ij ) − np0,j )2 (Mj − EMj )2 Qn = = . np0,j EMj j=1 j=1 k

Su distribuci´n bajo H0 depende de n y p0 , y puede obtenerse en cada caso o mediante el c´lculo directo a partir de la distribuci´n...