Estadistica

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Introducción
Son medidas estadísticas que se usan para describir como se puede resumir la localización de los datos. Ubican e identifican el punto alrededor del cual se centran los datos. Las medidas de tendencia central nos indican hacia donde se inclinan o se agrupan más los datos. Las más utilizadas son: la media, la mediana y la moda.

El propósito de lasmedidas de tendencia central es:
1. Mostrar en qué lugar se ubica el elemento promedio o típico del grupo.
2. Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier valor en relación con el puntaje central o típico.
3. Sirve como un método para comparar el valor adquirido por una misma variable en dos diferentes ocasiones.
4. Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidospor dos o más grupos.

La Media
La media o media aritmética, usualmente llamada promedio, se obtiene sumando todos los valores de los datos y divide el resultado entre la cantidad de datos. Si los datos proceden de una muestra la media se representa con una x testada (x) y si provienen de la población se representan con la letra griega (μ).

Media aritmética para datos no agrupadosmuestrales:

Media aritmética para datos no agrupados poblacionales:

Media aritmética para datos agrupados:

Donde
X: promedio muestral (estadístico).
μ: promedio poblacional (parámetro).
___: signo de sumatoria.
N = numero de datos de la población.
n: numero de datos de la muestra.
fi: frecuencia absoluta.
Xc: Marca de clase o punto medio.

Ejercicio 1: A continuación se presenta unamuestra de las puntuaciones en un examen de un curso de estadística; calcular la media o promedio de los siguientes datos no agrupados:

70, 90, 95, 74, 58, 70, 98, 72, 75, 85, 95, 74, 80, 85, 90, 65, 90, 75, 90, 69.

Ejercicio 2: Calcular la media para los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en una tabla de frecuencia:

Intervalo de clase fi Xc fi*Xc
5.2 - 6.0 3
6.1 – 6.9 57.0 – 7.8 9
7.9 – 8.7 7
8.8 – 9.6 5
9.7 – 10.5 3
TOTAL

Ventajas e inconvenientes:
• La media aritmética viene expresada en las mismas unidades que la variable.
• En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.
• Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados.
• Es única.
• Su principal inconveniente es que seve afectada por los valores extremadamente grandes o pequeños de la distribución.

La Mediana
La segunda medida de tendencia central que analizaremos es la mediana, en ocasiones se le llama media posicional, porque queda exactamente en la mitad de un grupo de datos, luego de que los datos se han colocado de forma ordenada. En este caso la mitad (50%) de los datos estará por encima de la medianay la otra mitad (50%) estará por debajo de ella. La mediana es el valor intermedio cuando los valores de los datos se han ordenado.

La Mediana (Me) para datos no agrupados:
1. Primero se ordenan los datos.
2. Luego se calcula la posición de la mediana con la siguiente formula: (n+1)÷2 donde, n es el número de datos.
a) Por ejemplo, se tiene una muestra de tamaño 5 con los siguientes valores:46, 54, 42, 48 y 32.
Primer paso, ordenar los datos de forma ascendente:
Como la cantidad de datos es impar (5 datos), la mediana es el valor del dato que se encuentra ubicado en la posición (5+1)÷2=3, la mediana es:
Me =
b) Se ha obtenido una muestra con los valores de datos: 27, 25, 27, 30, 20 y 26.
¿Cómo se determina la mediana en este caso?
Primer paso, ordenar los datos:
Como elnúmero de datos es par (6), la mediana es el promedio de los datos que se encuentran en las posiciones (6+1) ÷1 = 3.5. Por lo tanto la mediana es:
Me =
La Mediana (Me) para datos agrupados:

Donde:
Li: Limite inferior real de la clase que contiene la mediana.
n: tamaño de la muestra.
Fi-1 = fa: Frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene la mediana.
fi: frecuencia de clase...