Estadistica

DISTRIBUCIONES MUESTRALES.
DISTRIBUCIÓN t
Se sabe que se distribuye normalmente con una media μ y una varianza σ²/n, o la variable[pic] se distribuye normalmente con media cero y varianza unitaria. Sin embargo, para calcular Z se requiere que σ sea conocido. Por lo tanto, se requiere una distribución para el caso en que σ sea desconocido y se pueda reemplazar por un estimativo, tal como S. Taldistribución es la distribución t.
Teorema. Sean Y y Z dos variables aleatorias independientes, Y con una distribución Chi cuadrado con n grados de libertad, y Z con una distribución normal estándar (0,1), entonces la distribución de la variable

[pic]

está dado por:

[pic]

y se denomina "distribución t ó distribución de Student, con n grados de libertad.
Origen: WS Gosset publicóinicialmente la distribución bajo el seudónimo de "Student".
Propiedades generales
a) El valor esperado es cero ⇒ E(T)= 0
b) Distribución simétrica con respecto a cero.
c) La varianza de T está dada por [pic]
d) La varianza de T es ligeramente mayor de 1.0, es decir, es ligeramente mayor que la de la distribución normal estandarizada.
e) Para n ≥ 30 la distribución t tiende hacia la distribuciónnormal.
Tabulación. La función de distribución no puede calcularse en forma analítica; sin embargo, ha sido tabulada para diferentes valores de la probabilidad acumulada, y para varios grados de libertad. Como la distribución es simétrica, solamente se presentan probabilidades acumuladas para valores positivos de t (t≥0). Los valores que se presentan en los encabezamientos de las columnas de latabla corresponden a las probabilidades de exceder los respectivos valores de t, es decir, presentan las colas a la derecha de los valores respectivos de t. Para encontrar probabilidades correspondientes a valores negativos de t hay que hacer uso de la propiedad de simetría de la distribución t que nos dice que Φ(-t) = 1 - Φ(t).
Notación. Usaremos la notación [pic]para denotar el valor de ladistribución t con ν grados de libertad y una probabilidad acumulada de P hacia la derecha (o una probabilidad de 1-P hacia la izquierda).
La aplicación fundamental para la cual se usa esta distribución se presenta en el siguiente teorema.
Teorema. Si [pic]y S² son la media y la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal con media μ y varianza σ², entonces lavariable [pic]
tiene la distribución t con n-1 grados de libertad.
Demostración: Sabemos que [pic]
tiene una distribución Chi Cuadrado con n-1 grados de libertad, y que [pic]
tiene una distribución normal (0,1). Entonces si aplicamos la definición de la distribución t tenemos:

[pic]

Ejemplo. En un recorrido de prueba de una hora cada uno, el consumo promedio de gasolina de un motor fue 16.4galones, con una desviación estándar de 2.1 galones. Se quiere saber si es cierta la afirmación de que "el consumo promedio de gasolina es 12 galones/hora".
Respuesta:
Tenemos la siguiente información: n = 16,[pic] = 16.4, σ = 2.1 y μ = 12.0
Para responder la pregunta debemos verificar que tan probable es que una muestra de 16.4 galones pertenezca a una distribución con una media de 12. Por lotanto, debemos calcular la probabilidad de que la media muestral sea mayor o igual que 16.4 si la verdadera media de donde proviene dicha muestra es 12 galones. Esto es:
[pic]

Buscando en la tabla de la distribución t con 15 grados de libertad, tenemos que para una probabilidad de 0.005 el respectivo valor de t es 2.947, lo cual implica que la probabilidad para t = 8.38 es cero). Por lo tanto,concluimos que la probabilidad de obtener una muestra con una media de 16.4 de una población cuya media es 12.0 es cero, es decir, que "el consumo promedio de gasolina no es 12 galones/hora", sino que es superio

Estadísticas, estimadores y estimadores puntuales

En la estadística tiene un papel destacado la noción de MUESTRA ALEATORIA.

Una muestra aleatoria de tamaño n es:

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