Estadistica

Capítulo II

II
2.1. LA VARIABLE ALEATORIA

Variables aleatorias

En el capítulo anterior hemos trabajado con modelos en espacios muestrales no dimensionales (el suceso no tiene definida dimensión, ni tiene un ordenamiento), que podemos llamar espacios categóricos pues los resultados son un conjunto de categorías. Introduciremos ahora la formación de modelos en espacios métricos: losresultados serán números en el campo de los reales y por ende serán ordenados, tendrán una posición en el espacio muestral. El suceso tendrá una dimensión. Transformar un espacio muestral (conjunto de resultados) en un conjunto numérico es simple, basta con definir una relación (del punto de vista lógico - matemático) entre el conjunto de los resultados del experimento y el conjunto numérico. Si elconjunto numérico es el de los reales, tendremos que el espacio muestral, antes representable por un diagrama de Venn, ahora es representable por una recta. Cada número real será un resultado del espacio muestral. Podrá tener significado en el mundo real o no y tener probabilidad nula o no, eso no importa; ahora el espacio está ordenado y es mensurable. La relación resultado-probabilidad será unafunción y esto nos permitirá avanzar matemáticamente en la modelización. Algunos ejemplos: a) el tiro de una moneda, con E = {cara; cruz}, podrá ser definido según la cantidad de caras obtenidas, luego E estará formado por todos los reales en los que sólo el valor 0 y el valor 1 tendrán probabilidad distinta de 0. b) el juego de la ruleta, donde E = {rojo; no rojo = {negro 0} }, podrá definirse enfunción de la ganancia en el juego si se apuesta $5. Únicamente tendrán probabilidad distinta de 0 los resultados (números reales) {-5; 5} con P(5) = 18/37 y P(–5) = 19/37; el resto de los reales con P(x) = 0. c) el tiro de dos monedas, E = {CC; ZyC, ZZ} (dos caras, una ceca y una cara, dos cecas) podrá cuantificarse según la cantidad de cecas obtenidas: con P(0) = 1/4; P(1) = 1/2 y P(2) = 1/4; elresto de los reales con P(x) = 0. Cuando el espacio muestral se identifica por los números reales diremos que los resultados son una variable aleatoria. La representación del espacio muestral de una variable aleatoria es una recta . Cada punto es un resultado. Cada segmento o semirrecta, o unión de éstos, es un suceso. Así, i llamamos genéricamente VAR a una variable aleatoria, entonces: {VAR = 2}será la forma simbólica de escribir el resultado que se identifica con el número real 2. {VAR = x} será la forma simbólica de escribir el resultado que se identifica con el valor genérico x.
 

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Estimación Bayesiana

{1 < VAR < 3,5} será el suceso unión de los resultados identificados con los números reales comprendidos entre 1 y 3,5. {VAR ≤ –1,5} será el suceso conjunto de losresultados identificados con los números reales menores o iguales a –1,5. VA R = x -4 VA ,5 -1 R -3 -2 -1 x 0 1 VA R = 2 2 3 4 VA R

1 < VA R < 3,5

Observe que {VAR = 2} no es una ecuación sino simplemente una forma abreviada de decir: “resultado de la experiencia identificado con el número 2”. El “desconocimiento” de un número implica definirlo como variable aleatoria. Por ejemplo, si escribo unnúmero en un papel, para Ud. será una variable aleatoria (por más que el número esté escrito y no se pueda cambiar). En cambio, para mí que lo escribí, no será una variable aleatoria. La P(x) depende de la información disponible.

2.1.1. LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 2.1.1.1. LA FUNCION DE PROBABILIDA La relación resultado-probabilidad, o sea {VAR = x} → P(VAR = x) es la funcion de probabilidad dela variable aleatoria discreta VAR; ésta puede ser graficada en un diagrama cartesiano y toma la forma para los ejemplos anteriores:

P ( VA R = x ) 0 ,5

P ( VA R = x )
19 18 37 37

P ( VA R = x )
1 2

1 4

0 1 VA R cantidad de caras

-5

0 5 gan ancia

VA R

0 1 2 VA R cantidad de cecas

Atención: cuando no haya dudas de cuál es al variable aleatoria a la que nos estamos...