estadistica

Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote

CURSO ESTADÍSTICA

LECTURA 08 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y MEDIDAS DE FORMA (PARTE I)
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
TEMA 18: MEDIDAS DE DISPERSION
1. DEFINICION
Las medidas de dispersión son aquellas que cuantifican el grado de concentración o
de dispersión de los valores de la variable en torno de un valor central, generalmente
la media aritmética.Las medidas de dispersión se utilizan para dos propósitos
básicos:
a) Para verificar la confiabilidad de los promedios y
b) Para que sirva como base para el control de la variación misma.
Las medidas de dispersión que se utilizan con mayor frecuencia son:
• Varianza.
•

Desviación estándar.

•

Coeficiente de variación.

1.1. Varianza
Es una medida que cuantifica el grado dedispersión o de variación de los valores de
una variable cuantitativa con respecto a su media aritmética. Si los valores tienden a
concentrarse alrededor de su media, la varianza será pequeña. Si los valores tienen
a distribuirse lejos de la media, la varianza será grande.
La varianza calculada a partir de una muestra se denota por s2 y referida a la
población se denota por σ 2 o V [x].
La varianza sedefine como la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones
de los datos respecto a su media aritmética. La varianza es una medida de
dispersión con unidades de medición al cuadrado: S/.2, $2, km2, etc. La varianza
siempre es positiva.
1.1.1. La varianza para datos agrupados:
Se utiliza la siguiente fórmula:
•

Para n ≥ 30

_________________________________________
Elaboradopor : Mg. Carmen Barreto R.
Fecha
: Agosto 2010
Versión
:2

1

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n

s2 =
•

∑

i= 1

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(x i − x) 2
n

Para n < 30 [varianza de Cochran]
n

s2 =

∑

i= 1

(x i − x) 2
n− 1

Ejemplo 1:
Los siguientes datos corresponden a una muestra al azar de 8 clientes según su
tiempo en minutos que han visitado lapágina de Internet Google:
Xi : 2.3, 4.5, 4.2, 3.2, 4.4, 2.1, 1.6, 4.3
Calcular e interpretar la varianza:
Solución:
a) Para hallar la varianza primero debemos hallar el tiempo promedio de visita de los
clientes:
8

x=

∑

i= 1

xi

8

=

26.6
= 3.3 min utos
8

A continuación construiremos una tabla de trabajo para calcular la varianza:
Tabla N° 15
i

1
2
3
4
5
6
7
8Total

xi
2.3
4.5
4.2
3.2
4.4
2.1
1.6
4.3
26.6

_________________________________________
Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.
Fecha
: Agosto 2010
Versión
:2

(x i − x)
-1.0
1.2
0.9
-0.1
1.1
-1.2
-1.7
1.0
-

(x i − x) 2
1.00
1.44
0.81
0.01
1.21
1.44
2.89
1.00
9.80

2

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Donde:
8

∑i= 1

( x i − x ) 2 = 9.80

Reemplazando dicho valor en la formula de la varianza de Cochran ya que n=8 <
30.
8

s2 =

∑

i= 1

(x i − x) 2
8− 1

=

9.80
= 1.4 min utos 2
7

Interpretación: La variabilidad de los tiempos de visita de los clientes a la pagina
Web Google respecto de su valor central es de 1.4 minutos2 .
1.1.2. La varianza para datos agrupados:
Seutiliza la siguiente formula:
m

s2 =

∑

i= 1

;

∑

i= 1

para

n > 30

;

n
m

s2 =

(yi − y) 2 × f i

para

n ≤ 30 (Varianza de Cochran)

(yi − y) 2 × f i
n−1

Ejemplo 2 :
Los siguientes datos de la tabla que se da a continuación corresponden a 240
trabajadores de una Empresa “X” según su número de inasistencias:
Tabla N° 16
N° de
inasistencias
yi
3
5
7
911
Total

N° de trabajadores
fi
10
30
100
80
20
240

Calcular e interpretar la varianza.

_________________________________________
Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.
Fecha
: Agosto 2010
Versión
:2

3

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Solución:
a) Hallando en primer lugar el número promedio de inasistencias:
5

y=

∑

i=...