Estadistica

Distribución de probabilidad de Bernoulli y binomial
Definición:
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 − p).
Si X esuna variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro p. Es decir p va a ser igual a la probabilidad de éxitos.

FUNCION DE CUANTÍA O DE PROBABILIDAD BERNOULLI
La fórmula será:
f (x) = px (1 − p)1 − x con x = {0,1}
Donde:
 x =variable aleatoria
 p= Probabilidad de éxito
 q = (1-p)
Su función de probabilidad viene definida por:

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

CARACTERISTICAS:
• El experimento consiste en una secuencia de “n” intentos (ensayos de Bernoulli). (n = 1)• El resultado de cada ensayo en un experimento da lugar a dos posibles resultados: éxito (E) o fracaso (F).
• La probabilidad de un éxito permanece constante.
• Los ensayos son independientes.
• La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en un número fijo de ensayos.
PROPIEDADES:
Esperanza matemática:
La esperanza matemática es igual a la probabilidad de exitos es decir pVarianza:
Es la multiplicación de p y q


Moda:
0 si q < p
1 si q > p
No existe si q = p

Asimetría:

Curtosis:

La Curtosis tiende a infinito para valores de p cercanos a 0 ó a 1, pero para la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.
Empleo del proceso de Bernoulli
Podemos servirnos de losresultados de un número fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos así:
1. Cada ensayo (cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.
2. La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda hay 2posibilidades, la probabilidad de que salga del lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.
3. Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento. Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica.
Pongamos el caso en que sietedécimas partes de las personas que solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba.
Diremos entonces que la probabilidad característica fue de p = 0.7, pero podemos describir los resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli sólo si tenemos la seguridad de que la proporción de los que fueron aprobados permaneció constante con el tiempo
Desde luego, la otra característica del procesode Bernoulli también deberá ser satisfecha. Cada prueba deberá arrojar tan sólo dos resultados (éxito o fracaso) y los resultados de las pruebas habrán de ser estadísticamente independientes.
Las probabilidades del caso anterior son:
p = probabilidad de los que solicitaron pasaron la prueba donde x es igual a 1.
q = probabilidad de los que solicitaron no pasaron la prueba
En un lenguaje másformal, el símbolo p representa la probabilidad de un éxito y el símbolo q (1- p) representa la probabilidad de un fracaso.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Dada una variable aleatoria X, se llama función de distribución a aquella que proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que a. siendo al valor que toma la variable aleatoria. Es decir

Si se conoce...