Estadistica

UNIVERSIDAD DE CHILE

TAREA I

Estadística II





NOMBRE RUT




 

PROBLEMA 1
Parte i. Suponga que posee una muestra {X_i }_(i=1)^n de variables aleatoriasindependientes e idénticamente distribuidas con un comportamiento normal con media igual a 0 y varianza igual a σ^2, es decir, 〖X_i〗_(i=1)^n ~ IIDN (0, σ^2). Por otro lado, se define lavariable aleatoria Y como:

Y_i=X_i^2 ∀ i=1,2,3,…n

Demuestre que Y ̅_n es un estimador insesgado y consistente de σ^2. Para ello asuma que E(X^4)= 3σ^4.


Solución:
Primerosabemos que:
Y_i=X_i^2 ^ Y ̅_n= (∑_(i=1)^n▒Y_i )/n
Entonces para demostrar insesgamiento:

E(Y ̅_n) - σ^2 = 0

E((∑_(i=1)^n▒Y_i )/n) - σ^2 = 0

1/nE(∑_(i=1)^n▒Y_i ) - σ^2 = 0

1/n E(∑_(i=1)^n▒Y_i ) - σ^2 = 0 / Reemplazando Y_i=X_i^2

1/n E(∑_(i=1)^n▒X_i^2 ) - σ^2 = 0

1/n ∑_(i=1)^n▒〖E(X_i^2 〗) - σ^2 = 0 /Resolviendo E(X^2) = σ^2 *

1/n ∑_(i=1)^n▒σ^2 - σ^2 = 0

1/n∙n∙σ^2 - σ^2 = 0

σ^2=σ^2







*V(x)=E(x^2 )- E^2 (x)
σ^2= E(x^2 )- 0
E(x^2 )= σ^2


Luego, parademostrar consistencia:

lim┬(n→∞ )⁡〖V(Y ̅_n )=0〗

lim┬(n→∞ )⁡〖V((∑_(i=1)^n▒Y_i )/n)=0〗

〖lim┬(n→∞ ) 1/n^2 〗⁡〖∙V(∑_(i=1)^n▒Y_i )=0〗

〖lim┬(n→∞ ) 1/n^2〗⁡〖∙(∑_(i=1)^n▒〖V(Y_i)〗)=0〗

〖lim┬(n→∞ ) 1/n^2 〗⁡〖∙(∑_(i=1)^n▒〖V(X_i^2)〗)=0〗

Desarrollando la varianza tenemos:

〖lim┬(n→∞ ) 1/n^2 〗⁡〖∙(∑_(i=1)^n▒〖(E(x_i^4 )- E^2 〗(X_i^2)))=0〗

〖lim┬(n→∞ ) 1/n^2〗⁡〖∙(∑_(i=1)^n▒〖(3σ^4- σ^4 〗))=0〗


〖lim┬(n→∞ ) 1/n^2 〗⁡〖∙(2σ^4 n)=0〗

〖lim┬(n→∞ ) 1/n 〗⁡〖∙(2σ^4)=0〗






Parte ii. Suponga que posee una muestra extraídaaleatoriamente,
{X_i }_(i=1)^n ~ IID, de una población cuyo comportamiento estocástico, con parámetro desconocido e igual a θ, es de la forma:
f(x⁄θ)= θx^(θ-1) ∀...