Estadistica

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Distribución Binomial
Notación: 

Definición
Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles ( control de calidad, producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico(llamado éxito) y no ocurrencia de éste (llamado fracaso). Los términos o calificativos de "éxito y fracaso" son solo etiquétas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.
Ejemplo
Éxito podría ser hallar en un ensayo específico que la unidad es defectuosa al examinarla. Cada experimento aleatorio consiste en una serie deensayos o pruebas repetidas realizadas en idénticas condiciones ( veces), o sea que cada uno de ellos es independiente de los demás.
Sea  la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se realiza y   la probabilidad de fracaso. Sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los  ensayos o pruebas. El interés se centra en conocer la probabilidad de obtener exactamente  éxitosen esos  ensayos. 
Criterios o propiedades para definir la Distribución Binomial
Resumiendo, podemos definir estos criterios:
1- El experimento aleatorio consiste en  ensayos o pruebas repetidas, e idénticas y fijadas antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas con reemplazamiento o con reposición.
2- Cada uno de los  ensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados posiblesresultados: éxito ó fracaso.
3- La probabilidad del llamado éxito (, pemanece costante para cada ensayo o prueba.
4- Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es independiente de las demás.
Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que el constituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo conforman se llama experimento de Bernoulli.5. El interés recae en hallar la probabilidad de obtener  número de éxitos al realizar  ensayos del mismo E.A.
La función de probabilidad de X en esas condiciones será:

Para  entero y 
Planteamiento Básico
Supongamos un proceso productivo en serie de una misma unidad metalmecánica y en él que: Probabilidad de una unidad defectuosa :  y probabilidad de unidad no defectuosa: .
Supongamos queel interés está en evaluar el proceso mediante una muestra aleatoria de 4 unidades y por tanto se define la v.a X como el número de unidades defectuosas en la muestra. Para garantizar que los ensayos resulten independientes hacemos la selección con reemplazamiento o sustitución.
Supongamos que centramos nuestro interes en  unidad defectuosa en las cuatro pruebas o ensayos. Sea B=bueno y D=defectuoso. Por lo tanto el  esta conformado por 16 resultados posibles
  .....  
Se puede entonces notar que los eventos favorables a  constiuyen el subconjunto . Como no importa el orden de aparición de la unidad defectuosa sino que aparezca exactamente una unidad con esa característica tenemos:
 o sea:  para cada posible resultado de una unidad defectuosa
Como son cuatro resultados los quesatisfacen el interés específico de una unidad defectuosa entonces

Si generalizamos:  donde:  son las distintas maneras como  éxitos se producen dentro de los  ensayos;  es la probabilidad de  éxitos en cada una de las maneras distintas de producirse los  éxitos .
Para el caso del ejemplo: 
Consideremos el caso ya no de  defectuoso; sino todos los valores que puede asumir X en las cuatro pruebas.Como son 4 ensayos y consideramos todos los posibles valores de  entonces la 
Los valores de  se pueden calcular por medios electrónicos ó utilizando las tablas de la distribución binomial que proporcionan la solución de estas operaciones, a veces largas o laboriosas.
Con los resultados de esos cálculos podemos construir la tabla de distribución de probabilidades, hacer su gráfica y...