estadistica

Función de densidad conjunta
a función f se denomina función de densidad de probabilidad conjunta o f.d.p conjunta, de X e Y. Tal f.d.p conjunta debe satisfacer las dos condiciones siguientes:

La probabilidad de que el par (X,Y) pertenezca a cualquier región del plano xy se puede determinar integrando la f.d.p conjunta f(x,y) sobre esa región.
EL volumen total por debajo de la superficie z=f(x, y) y por encima del plano xy debe ser 1. La probabilidad de que el par (X, Y) pertenezca al rectángulo A es igual al volumen de la figura sólida con base que se muestra a continuación. La parte superior de la figura sólida está formada por la superficie z = f(x, y).
Función de densidad marginal
La función de densidad de probabilidad conjunta puede ser escrita como fX,Y(x, y) teniendo:Donde fY|X(y|x) y fX|Y(x|y) dan la Probabilidad condicionada de Y dado X = x y de X dado Y = y respectivamente, y fX(x) y fY(y) dada la distribución marginal para X y Y respectivamente.
De nuevo, dado que son distribuciones de probabilidad:

Función de densidad condicional, valor esperado condicional
Si tenemos una función de densidad de variable discreta pluridimensional en general, podemoshallar la función de densidad condicional que deseemos; para el caso de función de densidad conjunta f(x, y) , se tendrán dos funciones de densidad condicional, así:

Sean X, Y variables aleatorias de un vector bidimensional. El valor esperado de Y dado X se
Define por:

Variable aleatoria independiente
Supongamos que "X" e "Y" son variables aleatorias discretas. Si los eventos X = x / Y = yson variables aleatorias independientes. En tal caso: P(X = x, Y = y) = P( X = x) P ( Y = y).
De manera equivalente: f(x,y) = f1(x).f2(y).
Inversamente, si para todo "x" e "y" la función de probabilidad conjunta f(x,y) no puede expresarse sólo como el producto de una función de "x" por una función de "y" (denominadas funciones de probabilidad marginal de "X" e "Y" ), entonces "X" e "Y" sondependientes.
Si "X" e "Y" son variables aleatorias continuas, decimos que son variables aleatorias independientes si los eventos "X ≤ x", e "Y ≤ y" y son eventos independientes para todo "x" e "y”.
De manera equivalente: F(x,y) = F1(x).F2(y), donde F1(x) y F2(y) son las funciones de distribución (marginal) de "X" e "Y" respectivamente.
Inversamente, "X" e "Y" son variables aleatorias dependientes sipara todo "x" e "y" su función de distribución conjunta F(x,y) no puede expresarse como el producto de las funciones de distribución marginales de "X" e "Y".
Para variables aleatorias independientes continuas, también es cierto que la función de densidad conjunta f(x,y)es el producto de las funciones densidad de probabilidad marginales de "X", f1(x), y de "Y", f2(y).
Esperanza matemática defunciones de varias variables aleatorias
La esperanza matemática de funciones de varias variable aleatoria X (también llamada valor esperado o media) se denota con E(X) y se define, para variables discretas, como la media ponderada de los valores de X, donde las ponderaciones o pesos son las probabilidades correspondientes a los valores.


Extensión al caso n-dimensional
La distribuciónnormal n-dimensional Nn(m,S) es una generalización de la distribución normal univariante.
La función de densidad de una variable n-dimensional normal X=(X1, X2, ..., Xn) de parámetros m y S es

Para  (i = 1,2,..,n), donde m es el vector de medias  con 
y S es la matriz de varianzas-covarianzas (simétrica y definida positiva)  con y .
Distribuciones de variables aleatorias discretas
Una v.a. esdiscreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía (véanse las distribuciones de variable discreta).
Distribución Binomial
es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de...