estadistica

Capítulo III
Medidas de posición y de dispersión

Introducción
Hasta ahora, para describir un conjunto de datos, se han empleado tablas y gráficos. Estos son útiles para dar rápidamente una
visión general del comportamiento de los valores que asume una
variable; así, en el caso de variables categóricas, los diagramas son
suficientes para dar una descripción completa de las mismas.
Sinembargo, para describir el comportamiento de variables
cuantitativas se requiere de una mayor precisión que la que puede
proporcionar un gráfico. Es importante que esa descripción trascienda los límites de lo visual y lo subjetivo en cuanto sea posible.
Como solución a la situación planteada, surgen las medidas de
posición y de dispersión, para describir las características de las
distribucionesen forma cuantitativa. Más exactamente, la precisión que es deseable obtener al describir el conjunto de datos numéricos se refiere a dos aspectos, cada uno de los cuales se puede
traducir en una pregunta: ¿Existe algún valor de la variable que
represente a la mayoría de los valores del conjunto de datos? ¿Qué
tan separados están entre sí los diferentes valores que asume la
variable respectoal valor de la variable que representa a los datos?
La primera pregunta se refiere a las medidas de posición y la segunda, a las llamadas medidas de dispersión.
Así también, un investigador del campo educativo puede realizar una investigación para determinar si las aptitudes matemáticas son diferentes según el sexo de los estudiantes. Este investiga-

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dor tendrá dos conjuntos de calificaciones, luego obtendrá la calificación promedio de cada grupo y hará la comparación de los
promedios. La variabilidad de los datos es otro aspecto importante
que el investigador debe de considerar. Así, necesita saber si las
calificaciones son uniformes o varían entre los estudiantes del sexo
femenino y del sexo masculino.

Medidasde posición
En el campo social y educativo las medidas de tendencia central
que se usan más frecuentemente son la media aritmética, la mediana, los percentiles y la moda. A continuación desarrollaremos dichos temas.

Media aritmética
Definición
Si x1 ,...., xn son los valores observados de una variable X , la
media aritmética o simplemente media o promedio de estos datos
se define como elcociente de la suma de todos los valores observados entre el número de datos o tamaño de la muestra. Su expresión
matemática es:

X =

x1 + x2 + ... + xn 1 n
= ∑ xi ,
n
n i =1

(3.1)

donde n es el número total de observaciones.

Ejemplo 1
Los siguientes datos corresponden a las notas de 5 estudiantes en
el curso de Estadística: 12, 15, 11, 09, 13. Encontraremos el valor de
lamedia aritmética.
Solución
La nota promedio del curso es

X =

x1 + x2 + ... + xn 1
= (12 + 15 + 11 + 09 + 13) =12 puntos.
5
n

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Media aritmética ponderada
Nos permite calcular un promedio tomando en cuenta la importancia o peso de cada valor observado de la variable con respecto
al total. Su expresión matemática es:
k

Xw =

∑xwi =1
k

i

i

∑w
i =1

(3.2)

i

donde wi , es la importancia o peso que se asigna a cada valor
de la variable.

Ejemplo 2
Supongamos que un profesor decide utilizar un promedio ponderado para obtener los promedios finales de cada uno de los estudiantes que asisten al curso de Estadística. El promedio de trabajos
tendrá un valor de 20% de la calificación del estudiante; elexamen
parcial, 25%; el examen final, 35%; y el promedio de prácticas,
20%. A partir de los datos siguientes calcularemos el promedio
final para dos estudiantes cualesquiera.
Estudiante

Nota de trabajos Examen parcial Examen final

1
2

15
17

12
10

18
14

Promedio
prácticas
13
17

Solución
a) Obtengamos el promedio ponderado del primer estudiante. Aplicando la fórmula...