Estadistica

Estadística
El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.
El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, unapoblación muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición.
Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico quese llama distribución maestral.
Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico.
Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.
1. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Cada muestra de tamaño nque podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias.
• Si tenemos una población normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal


• Si la poblaciónno sigue una distribución normal pero n>30, aplicando el llamado Teorema central del límite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior.
Las notas de cierto examen se distribuyen según una normal de media 5,8 y desviación típica 2,4. Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes esté comprendida entre 5 y 7
 La poblaciónes N(5,8;2,4), con n=16 la distribución muestral de medias se distribuye N(5,8;0,6)

 Si x es la media de la muestra hemos de calcular la probabilidad
P(5£x£7)=P(-1.33£z£2)=
=P(z£2)-[1-P(z£1.33)] = 0,8854

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES
En numerosas ocasiones se plantea estimar una proporción o porcentaje. En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valoresdiferentes (éxito o fracaso), es decir sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal .
• Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal

donde p es la proporción de uno de los valores que presenta la variable estadística en la población y q=1-p.

Si tiramosuna moneda no trucada 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 55 caras?
 En una moneda no trucada la proporción de caras es 0,5, con lo que p=0,5 q=0,5 n=100
 La distribución muestral de proporciones se distribuye
N(0,5;0,05)
 Si llamamos p' a la proporción en la muestra hemos de calcular la probabilidad
P(p'>0,55) = P(z>1) =
=1-P(z£1) = 1-0,8413 = 0,1587
Enuna población cuya distribución es conocida pero desconocemos algún parámetro, podemos estimar dicho parámetro a partir de una muestra representativa.
Un estimador es un valor que puede calcularse a partir de los datos muestrales y que proporciona información sobre el valor del parámetro. Por ejemplo la media muestral es un estimador de la media poblacional, la proporción observada en la muestraes un estimador de la proporción en la población.
Una estimación es puntual cuando se obtiene un sólo valor para el parámetro. Los estimadores más probables en este caso son los estadísticos obtenidos en la muestra, aunque es necesario cuantificar el riesgo que se asume al considerarlos. Recordemos que la distribución muestral indica la distribución de los valores que tomará el estimador al...