estadistica












ALGUNAS DISTRIBUCIONES







DISCRETAS























1.- DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

1.1 Ensayo de Bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no.
Así el experimento aleatorio tiene solamente dos resultados posibles, y por tanto el espacio muestralasociado estará formado por dos eventos simples.

Es común llamar a uno de los posibles resultados “éxito” y al otro “fracaso” en forma arbitraria, sin implicar ello que un éxito sea necesariamente deseable.
El hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados obedece a una tradición literaria o histórica.

Supondremos que:
p = prob. de éxito (E)
q = 1-p= prob. de fracaso (F)

Resumiendo:

Características de un ensayo de Bernoulli

a.- El ensayo tiene uno de dos resultados mutuamente excluyentes, que indicaremos arbitrariamente “éxito” (E) y “fracaso” (F).

b.- Los resultados son exhaustivos, es decir no hay otros resultados posibles.

c.- Las probabilidades de E y F se indican: P(E) = p y P(F) = q = 1-p



1.2 Distribución deprobabilidad de Bernoulli
Los dos posibles resultados, éxito y fracaso, de un ensayo de Bernoulli son de naturaleza CUALITATIVA.
Pero sabemos que en el análisis estadístico es necesario convertir estos eventos cualitativos en CUANTITATIVOS (valores numéricos).

Para ello definimos una v.a. discreta como sigue:


La distribución de probabilidad de una v.a. discreta engeneral viene dada mediante una tabla, en este caso será:

X
1
0
P(xi) = P(X= xi)
p
1-p
Tabla 1

Recordar: distribución de probabilidad de una v.a. discreta está constituida por los valores que toma la v.a. X y las probabilidades con que toma estos valores.

Podemos escribir la f.d.p. de la v.a. X como sigue:

p(x) = P(X = x) = px.(1-p)1-xpara x = 0,1. (1)

Decimos que la v.a. X con f.d.p. dada por (1) tiene distribución de Bernoulli. (Se realiza sólo un experimento que puede tener únicamente dos resultados).

Podemos resumir lo dicho como sigue:

Distribución de probabilidad de Bernoulli

Consideramos un ensayo de Bernoulli y definimos la v.a. discreta X por:



Decimos que X tiene distribución de Bernoulli si y solosi, su f.d.p. está dada por:
p(x) = P(X = x) = px.(1-p)1-x para x = 0,1.

donde p es la probabilidad de éxito.

Notación: Para indicar que una v.a. discreta X tiene distribución de probabilidad de Bernoulli, anotaremos:
X  Ber(p)

Notar que p es el único parámetro (número que caracteriza a una distribución) de esta distribución.

Observación. La distribución de Bernoulli solotiene interés teórico, se usará para obtener la distribución binomial.

1.3 Esperanza y varianza de una variable aleatoria con
distribución de Bernoulli

I) Esperanza
De acuerdo a la definición de esperanza de una v.a. X, resulta:


en nuestro caso: x1= 1 y x2 = 0   = E(X) = 1.p + 0.(1-p) = p
Por tanto:
E(X) = p

II) Varianza
De acuerdo a la definición de varianza de unav.a. discreta X, resulta:



(1) por definición de esperanza de una función de v.a. (en este caso: Y = H(X) = =(X-p)2)
(2) se usó x1 = 1 y x2 = 0

Luego:
V(X) = p.(1-p)


1.4 Función de distribución de probabilidad acumulada (Fda)
Sabemos que la Fda de cualquier v.a. de define por: F(x) = P(X  x)
Teniendo en cuenta la tabla 1:

si x < 0  F(x) = 0
si 0  x < 1  F(x) =1-p
si x  1  F(x)= p + 1-p = 1

Por tanto:

(graficar la función). Es una función escalonada.
Ejemplo En una empresa textil el 80 % de los empleados son mujeres.
Sea X la v.a. que toma el valor 1 cuando un empleado seleccionado aleatoriamente es mujer y 0 cuando el empleado es hombre.
Obtener la media y la desviación estándar de X.
Solución

Denominaremos:
“éxito”: si se selecciona...