Estadistica

Apuntes de Estadística Inferencial Ing. Jorge Luis Santos Cuellar M.A.

Ejercicios de Estimación por intervalos de medias Caso b) σ desconocida Problema 1.Una maquina produce barras que se usan en el sistema de suspensión de un automóvil, Se selecciona una muestra aleatoria de 10 barras y se mide el diámetro. Asuma que la población sigue una distribución normal. Los datos de los diámetros (enmm) observados se muestran a continuación: 8.24 mm 8.21 mm 8.23 mm 8.25 mm 8.23 mm 8.26 mm 8.23 mm 8.20 mm 8.26 mm 8.19 mm a) Construya un intervalo de estimación para el diámetro promedio de todas las barras producidas en ese proceso de manufactura, para una confiabilidad de 98 %.
Donde: N = población ->∞; n = tamaño muestra = 10 observaciones; σ = Desv. std población desconocida; µ = mediapoblacional; xprom = media muestral; s x prom = desv. std de la dist. de muestreo de medias Dist. Muestral = Dist t

Poblacion

Sx
Curva Normal σ=? µ X µ=? n = 10 Xprom

S X Xprom

Calculamos los valores estadísticos (media y desviación std.) de la muestra:

promedio = x =

∑x
i =1

10

i

n

=

82.3 = 8.23mm 10

desv _ s tan dard = s =

∑ (x
i =1

10

i

− x)2 =

n−1

0.0052 = 0.0005777 = 0.02404mm 10 − 1

De tabla de dist. “t” tenemos que:

± tv = 9 , (1−α ) = 0.99 = 2.821 gradosdeli bertad = v = n − 1 = 10 − 1 = 9

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De Tablas +/- t = 2.821

Distribución de muestreo de Medias = Modelo t de Student con v = 9 g.l.

Sx =
Confiabilidad = 98 % IntervaloIntervalo

S n

(α / 2) = 0.01=1%

(α / 2) = 0.01=1% X

-t

Xprom

+t

µ Entonces podemos calcular el intervalo de estimación para µ

μ = ( x ) ± int ervalo = x ± S x = x ± t μ = 8.23 ± 2.821

s n

0.02404 = 8.23 ± (2.821)(0.00759) 10 μ = 8.23 ± 0.02142 mm 8.2086 mm ≤ μ ≥ 8.2514 mm
Esto significa que, en base a la evidencia muestral, podremos afirmar con una confiabilidad del 98%que el diámetro promedio de las barras de suspensión producidos en ese proceso es un valor que se encuentra entre los 8.20 mm y los 8.25 mm.

b) Si se desea estimar el diámetro promedio, ¿que tamaño muestral se debería de tomar si se desea una confiabilidad del 99% con un error de estimación de 0.01 mm?
Como solo disponemos de la desv. std muestral (S) resolveremos esta pregunta asumiendo enprimer lugar que la respuesta será un valor mayor que 30, asi usaremos z en lugar de t, lo cual significa que aunque la dist. de muestreo a usar es t, pero como la muestra es grande (n>30) la aproximación a la normal ya se dio y si el resultado es así, querrá decir que el supuesto es valido y la respuesta es correcta, si la respuesta es un valor menor de 30, querrá decir que debemos recalcular usandovalores t pues el tamaño de muestra así lo estará sugiriendo. Entonces: Tenemos que: e = 0.01 mm = intervalo deseado en nuestra estimación Confianza deseada = 99 % (de tablas vemos que z = 2.575) S = 0.02404 mm (este es un valor muestral ya conocido en el inciso a)

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int ervalo _ de _ estimacion = e = z ⎛ S⎞despejando……… n = ⎜ z ⎟ ⎝ e⎠
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S n

0.02404 ⎞ ⎛ sustituyendo…… n = ⎜ 2.575 ⎟ = 38.32 ⇒ 39barras 0.01 ⎠ ⎝
Como podemos ver, el tamaño de muestra sugerido es de 39 barras de suspensión a muestrear, lo cual es un valor mayor de las 30 necesarias para que la dist. de muestreo sea supuesta como normal. Así, el supuesto considerado se cumple y la respuesta es correcta. Así entonces, deberemos detomar una muestra de 39 barras de suspensión si deseamos que, para una confiabilidad del 99%, nuestra estimación de µ este a ± 0.01 mm de la media muestral que obtengamos al medir los diámetros de las 39 barras Esto es: μ = x ± 0.01mm con una confianza del 99%, si n = 39 barras de suspensión

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Problema 2.Un ingeniero de Control de Calidad midió la pared (espesor) de 25 botellas de vidrio...