Estadistica

Definición de mediana
La mediana de una variable estadística es el valor tal que la cantidad de
observaciones menores que él es igual a la cantidad de observaciones
mayores que él. Se representa por Me. El cálculo de la mediana difiere si
las variables son discretas (no agrupadas) o si son continuas (agrupadas en
intervalos).

Variables no agrupadas
El cálculo de la mediana debediferenciarse dependiendo de la paridad
de datos:
Variables de tipo unitario
Si N es impar. La mediana es el valor central.
Si N es par. La mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.
Variables con frecuencias no unitarias
Si N es impar. La mediana es el primer valor de la variable cuya frecuencia
absoluta acumulada sea mayor que la mitad del número de datos:
Me = xi / Ni-1 < N/2 £Ni
Si N es par. Tendremos que diferenciar dos casos posibles:
· Si existe Ni / Ni-1 < N/2 < Ni , entonces Me = xi
· Si existe Ni / Ni = N/2, entonces Me = (xi + xi+1)/2
Variables agrupadas
En este caso, se busca el intervalo mediano, es decir, aquél en el que se
alcanzan la mitad de los datos (N/2). Sea (Li-1 , Li] el intervalo mediano.

Entonces:

Si en el intervalo mediano Ni = N/2,se toma por convenio la mediana
como el extremo superior del intervalo mediano.

Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9,10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es lafrecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
 
fi
Fi
[60, 63)
5
5
[63, 66)
18
23
[66, 69)
42
65
[69, 72)
27
92
[72, 75)
8
100
 
100
 
100 / 2 = 50
Clase modal: [66, 69)Características de la mediana:
1. Es una mediad de posición central mas representativa que la media
cuando la variable solo admite escala ordinal.
2. Puede calcularse aunque los valores extremos sean desconocidos
siempre cuando sepamos sus frecuencias (para intervalos extremos
desconocidos).
3. En su cálculo no intervienen todos los datos.
4. Solo se utiliza en variables cuantitativas.

CálculoExisten dos métodos para el cálculo de la mediana:
1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos. 2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.
A continuación veamos cada una de ellas.
Datos sin agrupar
Sean los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como Me, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor queocupa la posición (n + 1) / 2 una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: Me = x(n + 1) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9 => El valor central es el tercero: x(5 + 1) / 2 = x3 = 7. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo(x1, x2) y otros dos por encima de él (x4, x5).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones n / 2 y n / 2 + 1. Es decir: Me = (xn / 2 + (xn / 2 + 1)) / 2.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: x1 = 3, x2 = 6, x3 = 7, x4 = 8, x5 = 9, x6 = 10 => Hay...