Estadistica

2.3.2 La media
La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por las frecuencias de los mismos. Es decir, si la tabla de valores de una variable X es
la media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:
{draw:frame}


Si los datos no están ordenados en una tabla, entonces
{draw:frame}2.3.2.1 Observación
Hemos supuesto implícitamente en la definición de media que tratábamos con una variable X discreta. Si la variable es continua tendremos que cambiar los valores de xi por las marcas de clase correspondientes. En general, la media aritmética obtenida a partir de las marcas de clase ci, diferirá de la media obtenida con los valores reales, xi. Es decir, habrá una perdida deprecisión que será tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayores sean las longitudes ai, de los intervalos.

2.3.2.2 Proposición
La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es decir,
{draw:frame}


Demostración
Basta desarrollar el sumatorio para obtener
{draw:frame}Este resultado nos indica que el error cometido al aproximar un valor cualquiera de la variable, por ejemplo x1, mediante el valor central {draw:frame} , es compensado por los demás errores:
{draw:frame}


Si los errores se consideran con signo positivo, en este caso no pueden compensarse. Esto ocurre si tomamos como medida de error alguna de las siguientes:
{draw:frame}{draw:frame}


{draw:frame}


que son cantidades estrictamente positivas si algún {draw:frame} .
2.3.2.3 Ejemplo
Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribución y comprobar que su suma es cero.
Solución:
La media aritmética es:
{draw:frame}


Como se puede comprobar sumando los elementos de la última columna,
{draw:frame}2.3.2.4 Proposición (*König*)
Para cualquier posible valor kque consideremos como candidato a medida central, {draw:frame} lo mejora en el sentido de los mínimos cuadrados, es decir
{draw:frame}


Demostración
Sea {draw:frame} . Veamos que el error cuadrático cometido por kes mayor que el de {draw:frame} .
{draw:frame}



2.3.2.5Proposición (Linealidad de la media)
{draw:frame}



2.3.2.6 Proposición
Dados r grupos con n1, n2, ..., nrobservaciones y siendo {draw:frame} , {draw:frame} , ..., {draw:frame} las respectivas medias de cada uno de ellos. Entonces la media de las {draw:frame} observaciones es
{draw:frame}


Demostración
Vamos a llamar xij a la j-ésima observación delgrupo i; Entonces tenemos
{draw:frame}


Así, agrupando convenientemente las observaciones se llega a que
{draw:frame}


2.3.2.7 Observación
A pesar de las buenas propiedades que ofrece la media, ésta posee algunos inconvenientes:
Uno de ellos es que es muy sensible a los valores extremos de la variable: ya que todas las observaciones intervienen en el cálculo de lamedia, la aparición de una observación extrema, hará que la media se desplace en esa dirección. En consecuencia,
no es recomendable usar la media como medida central en las distribuciones muy asimétricas;
Depende de la división en intervalos en el caso de variables continuas.
Si consideramos una variable discreta, por ejemplo, el número de hijos en las familias deMálaga el valor de la media puede no pertenecer al conjunto de valores de la variable; Por ejemplo {draw:frame} hijos.
2.3.2.8 Cálculo abreviado
Se puede utilizar la linealidad de la media para simplificar las operaciones necesarias para su cálculo mediante un cambio de origen y de unidad de medida. El método consiste en lo siguiente:
Tomamos a un número que exprese...