Estadistica

2. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE. En el capitulo anterior se estudió un modelo de regresión simple, donde se usaba solamente una variable independiente o predictora, en este caso se analizarán modelos de regresión múltiple cuando existen más de una variable independiente, las cuales se suponen pueden predecir una variable dependiente. Por ejemplo, cuando se considera un proceso de moldeo depoliestireno, en el cual se usan perlas expandibles y un agente expansor que al exponerse al calor puede aumentar su tamaño hasta 50 veces, estas perlas se funden dentro de un molde y la variable que se desea predecir es la resistencia a la fractura, misma que está en función de la temperatura y la presión del vapor que se utiliza en el proceso. Este es un ejemplo con dos variables independientes, peropuede suceder que existan más variables independientes, esta es la razón por lo cual se le llama regresión múltiple. Los modelos de regresión lineal múltiple, generalmente son modelos de primer grado y lineales en sus parámetros, pero para abreviar, solamente se dice modelos de regresión lineal múltiple, en este capitulo estudiaremos el modelo general, estimación de parámetros, inferencia sobre elmodelo y los parámetros, y predicción e intervalos de confianza.

2.1 El Modelo Lineal Múltiple. El modelo de regresión lineal múltiple, como se mencionó anteriormente, es un modelo lineal en sus parámetros de primer grado, es decir que las variables independientes son consideradas únicamente dentro del modelo en primer grado, cuando estas se consideran términos cuadráticos y de interacción,entonces pasan a ser modelos de regresión polinomial. En este caso la regresión polinomial queda fuera del objetivo de este libro. A continuación se presenta un modelo de regresión lineal múltiple de dos variables:
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + ε

Donde: β 0 , es el intercepción del plano con la línea del eje y , β1 , es la pendiente del plano con respecto a x1,

β 2 , es la pendiente del plano conrespecto a x 2 y ε , representa el término del error.

intercepción del plano con el eje y, β1 es la derivada parcial del modelo con respecto a x1, β 2 es la derivada parcial del modelo con respecto a x 2 .

En la figura 2.1 se representa un modelo de regresión lineal múltiple con dos variables independientes, como el descrito anteriormente, β 0 es el punto de

80 70 60 50 Y 40 30 20 10 01 2 3 4 X1 5 6 7 8 9 S1 10 S4 S10 S7 X2

Figura 2. 1 Modelo de Regresión Lineal con Dos Variables Independientes. El modelo de regresión lineal con dos variables independientes puede ser representado en forma matricial como se explica a continuación. Supóngase que se toma una muestra al azar de n observaciones, entonces, el modelo puede ser representado como sigue:
y i = β 0 + β1 x i 1 + β 2 xi 2 + ε i para i = 1K n,

También, se puede expresar de la siguiente forma:
⎡ y 1 ⎤ ⎡1 ⎢ y ⎥ ⎢1 ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢ M ⎥ ⎢M ⎢ ⎥ ⎢1 ⎣y n ⎦ ⎣ x11 x 21 M x n1 x12 ⎤ ⎡ β ⎤ ⎡ ε 1 ⎤ 0 x 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ε 2 ⎥ ⎥ β1 + ⎢ ⎥ M ⎥⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ x n 2 ⎥ ⎣ β 2 ⎦ ⎢ε ⎥ ⎦ ⎣ n⎦

Donde:
⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ Y = ⎢ 2⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣y n ⎦ ⎡1 ⎢1 X =⎢ ⎢M ⎢1 ⎣ x11 x 21 M x n1 x12 ⎤ x 22 ⎥ ⎥ M ⎥ xn2 ⎥ ⎦

52

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CD. JUAREZ⎡β 0 ⎤ β = ⎢ β1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢β 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ε1 ⎤ ⎢ε ⎥ ε = ⎢ 2⎥ ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ε n ⎦

Entonces, el modelo de regresión lineal múltiple se puede escribir de la siguiente forma:
Y = Xβ + ε

Donde: Y es un vector de orden n × 1, X es una matriz de orden n × ( p + 1), β es un vector de orden ( p + 1) × 1 y

ε es un vector de orden n × 1.

De tal forma que el valor esperado del vector Y es igual a Xβ ,ya que el valor esperado del error es cero, esto es:
E (Y ) = Xβ .

De aquí en adelante, el modelo se representará en forma matricial, sin mencionar el orden de los mismos, con el propósito de ahorrar tiempo y espacio. En la siguiente sección se estudia la estimación del vector de parámetros.

2.2 Estimación de Parámetros. El problema de predicción de Y dado X, involucra la estimación del...