Estadistica

Curva de ajuste, regresión y correlación

CURVA DE AJUSTE

Muy a menudo en la práctica se encuentra que existe una relación entre dos (o más) variables, y se desea expresar esta relación en forma matemática determinando una ecuación que conecte las variables.

Un primer paso es la colección de datos indicando los valores correspondientes de las variables.
Por ejemplo, si x y (y) denotan laestatura y peso de un adulto; entonces una muestra de n individuos resultaría en las estaturas X1' X 2" . . . , X n y los pesos correspondientes y 1 , Y 2 , . . . , y n .

El paso siguiente es dibujar los puntos (XI, Y 1 ), (X2, Y2 ), . . . , (Xn, y n) en un sistema de coordenadas rectangulares. El conjunto resultante de puntos se llama a veces diagrama de dispersión.

Del diagrama dedispersión es posible frecuentemente visual izar una curva que se aproxime a los datos. Dicha curva se llama curva de aproximación. En la Fig. 8-1, por ejemplo, se observa que los datos se aproximan bien por una recta y decimos que existe una relación lineal entre las variables. Sin embargo, en la Fig. 8-2 aunque existe una relación entre las variables ésta no es una relaci6n lineal y por esto lallamamos relación no lineal. En la Fig. 8-3 parece que no hay ninguna relación entre las variables.

El problema general de hallar ecuaciones de curvas de aproximación que se ajusten a conjuntos de datos dados se denomina curva de ajuste. En la práctica el tipo de ecuación se sugiere frecuentemente del diagrama de dispersión. Así para la Fig. 8-1 podríamos utilizar una recta
y = a + bx
Mientras quepara la Fig. 8-2 ensayaríamos una curva cuadrática o parabólica
y = a + bx + cx2

Algunas veces conviene dibujar los diagramas de dispersión en términos de variables transformadas. Así por ejemplo, si lag y vs. x conduce a una recta trataríamos log y = a + bx como ecuación para la curva de aproximación.

REGRESION

Uno de los propósitos principales de la curva de ajuste es estimar una delas variables (la variable dependiente) de la otra (la variable independiente). El proceso de estimación se conoce como regresión. Si y se va a estimar a partir de x por medio de alguna ecuación la llamamos ecuación de regresión de y sobre x y a la curva correspondiente curva de regresión de y sobre x.

METODO DE MINIMOS CUADRADOS

Generalmente, más de una curva de un tipo dado parece ajustar unconjunto de datos. Para evitar el juicio individual en la construcción de rectas, parábolas, u otras curvas de aproximación, es necesario obtener una definición de la "mejor recta de ajuste", "mejor parábola de ajuste", etc.

Para motivar una posible definición considérese la Fig. 8-4 en la cual los puntos de datos son (XI, YI)' . . . , (xn, yn). Para un valor dado de X, por ejemplo XI' habráuna diferencia entre el valor de y I Y el valor correspondiente determinado de la curva C. Denotamos esta diferencia por d1, que algunas veces se conoce como desviación, error, o residuo y puede ser positivo, negativo o cero. Análogamente, correspondiendo a los valores X1, . . . ,x~ obtenemos las desviaciones d1, . . . ,dn.

Una medida de la "bondad del ajuste" de la curva e al conjunto de datosla suministra la cantidad df + d~ + . . . + d~. Si la suma es pequeña el ajuste es bueno si es grande el ajuste es malo.

Una curva con esta propiedad se dice que ajusta los datos en el sentido de mínimos cuadrados y se llama curva de regresión de mínimos cuadrados o simplemente curva de mínimos cuadrados. Por tanto una recta con esta propiedad se llama recta de mínimos cuadrados, una parábolacon esta propiedad se llama parábola de mínimos cuadrados, ete.

Se acostumbra a emplear la definición anterior cuando x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Si X es la variable dependiente, la definición se modifica al considerar las desviaciones horizontales en cambio de las verticales, que se reduce a intercambiar los ejes x, y. Estas dos definiciones conducen en...