estadistica

2. Probabilidad y

variable aleatoria
Curso 2011-2012
Estadística

2. 1 Probabilidad

Probabilidad y variable aleatoria

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Experimento Aleatorio

EL término “experimento aleatorio” se
utiliza en la teoría de la probabilidad para
referirse a un proceso cuyo resultado no es
conocido de antemano con certeza.
“Suma de valores en el lanzamiento de 2
dados.”
Probabilidad yvariable aleatoria

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Ejemplos
• Número de piezas defectuosas en
una muestra de 100 piezas.
• Número de llamadas a una centralita
telefónica en un día.
• Energía eléctrica consumida en
Madrid durante un periodo de
tiempo.
Probabilidad y variable aleatoria

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Espacio Muestral
Conjunto formado por todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio.
• DISCRETOS:
• Lanzamientode un DADO: S = {1,2,3,4,5,6}
• Piezas defectuosas en una muestra de 100
S = {0,1,2,...,100}
• Llamadas a una centralita durante un día
S = {0,1,2,3,...,∞}

• CONTINUOS:
• Energía consumida en Madrid: S={[0, ∞)}
Probabilidad y variable aleatoria

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Suceso
Cualquier subconjunto del espacio muestral.
•

“Obtener un número par al lanzar un dado”:
A = {2,4,6}

•

“Observar menosde 5 piezas defectuosas en una
muestra de 100”:
B = {0,1,2,3,4}

•

“Tener más de 50 llamadas de teléfono en una hora”:
C = {51,52,...,∞}

•

“Tener una demanda de energía eléctrica entre 300
Mwh y 400 Mwh” : D =(300,400)

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Operaciones
Sean A y B dos subconjuntos de S
• Unión
A ∪ B = {x : (x ∈ A) o (x ∈ B)}
• Intersección
$

A ∩ B = {x: (x ∈ A) y (x ∈ B)}
• Complementario

$= {x : x∉ A}
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Probabilidad y variable aleatoria

$∩%
$∪%

$

Probabilidad y variable aleatoria

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Propiedades
'DGRV WUHV VXFHVRV $% \ & GH XQ HVSDFLR PXHVWUDO 6
­$ ∪ % = % ∪ $
&RQPXWDWLYD  ®
¯$ ∩ % = % ∩ $
­ $ ∪  % ∪ &  =  $ ∪ % ∪ &
$VRFLDWLYD  ®
¯ $ ∩  % ∩ &  =  $ ∩ % ∩ &
­ $ ∪  % ∩ &  =  $ ∪ % ∩  $ ∪ &
'LVWULEXWLYD  ®
¯ $ ∩  % ∪ &  =  $ ∩ % ∪  $ ∩ & 
­$ ∪ % = $ ∩ %
/H\HV GH 'H 0RUJDQ  ®
¯$ ∩ % = $ ∪ %
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Probabilidad y variable aleatoria

Axiomas de Probabilidad
'DGR XQ HVSDFLR PXHVWUDO 6 XQD IXQFLyQ GH SUREDELOLGDG
DVLJQD YDORUHV 3$ D FDGD VXFHVR $ ⊂ 6 \ VDWLVIDFH 


 ≤ 3$ ≤ 



36 = 

 3DUD XQD VHFXHQFLD GH VXFHVRV $$ !  $Q
TXH FXPSOHQ $L ∩ $ M = ∅FXDQGR L ≠ M
Q

3 * $L  = ¦L = 3 $L 
Q

L =

Probabilidad y variable aleatoria

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Problema fundamental
• Dado un espacio muestral discreto con resultados
A1, A2, ..., An , el experimento aleatorio queda
caracterizado si asignamos un valor P(Ai) no
negativo a cada resultado Ai de forma que

P(A1)+P( A2)+ ...+P(An)=1.
‡ (MHPSOR 6H ODQ]D GRV YHFHV XQD PRQHGD^;;;&&;&&`
6H DVLJQD SUREDELOLGDG  D FDGD XQR GH ORV FXDWUR
UHVXOWDGRV
¢ (V XQD DVLJQDFLyQ FRUUHFWD"
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Probabilidad y variable aleatoria

Propiedades elementales
 3∅ = 
 3 $ =  − 3 $
 6L $ ⊂ % HQWRQFHV 3$ ≤ 3%
 3DUD GRV VXFHVRV FXDOHVTXLHUD $ % ⊂ 6 
3  $ ∪ % = 3 $ + 3 % − 3 $ ∩ %
 3DUD Q VXFHVRV $$ $Q ⊂ 6 
Q

Q

L =

L =

Q

Q3* $L  = ¦ 3 $L  − ¦¦ 3 $L ∩ $ M  +
Q

Q

L = M > L

Q

¦¦¦ 3$ ∩ $
L

M

∩ $N  + " + − Q + 3 $ ∩ $ ∩ " ∩ $Q 

L = M >L N > M

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Asignación de probabilidades
1. Clásica (Laplace): Equiprobabilidad
2. Frecuencialista (von Mises, 1931)
3. Subjetiva

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Probabilidad y variable aleatoria

Clásica: sucesosequiprobables
Sea un experimento con un número finito N
de resultados excluyentes y equiprobables,
la probabilidad del suceso A es
3 $ =

1  $

1

donde N es el número de resultados
posibles del experimento y N(A) el número
de resultados favorables al suceso A.

Probabilidad y variable aleatoria

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Ejemplos (equiprobabilidad)
• Lanzamiento de una moneda. S={C,X}
3&  =

...