Estadistica

Dr. Andoni G´rritz - Estad´ a ıstica

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Estad´ ıstica Univariada
En este documento se utilizan las letras may´sculas para denotar a la variable u aleatoria, y a las min´sculas para denotar valores espec´ u ıficos que pueden tomar dichas variables. Por ejemplo: X ≤ x debe entenderse como los valores de la variable aleatoria X que son menores o iguales al valor particular x.

VariablesAleatorias Una variable aleatoria puede tomar muchos valores, algunos de ellos con mayor, menor o igual probabilidad de ocurrencia que otros. Una variable aleatoria se define mediante la funci´n de densidad de probabilidad (f.d.p. de ahora o en adelante). Esta funci´n, a la que llamaremos f (x), cumple con las siguientes o propiedades:
∞

f (x)dx = 1
−∞

f (x) ≥ 0

∀x ∈ (−∞, ∞)

Existe tambi´nla funci´n de distribuci´n acumulativa de probabilidad, definida e o o como
x

F (x) =
−∞

f (s)ds

donde s representa los posibles valores de la variable aleatoria X. Se observa que F (x) es la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores iguales o menores a x. Es decir, F (x) = P rob(X ≤ x).

Esperanza y Varianza de una variable aleatoria: Se define la esperanza de unavariable aleatoria X, o el primer momento de X respecto al origen, como
∞

E(X) =
−∞

xf (x)dx

2

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Dado que la funci´n Esperanza es una integral, respeta todas las propiedades o de las integrales. En general, la esperanza de una funci´n y = y(x) cualquiera se o define como:
∞

E[y(x)] =
−∞

y(x)f (x)dx

Un caso particular para la funci´n Esperanzaes el segundo momento de X o respecto a su media, mejor conocido como varianza:
∞

V ar(X) = E[(X − E(X))2 ] =
−∞

(X − E(X))2 f (x)dx

La desviaci´n est´ndard σ es la desviaci´n promedio con respecto a la media: o a o σ= V ar(X)

Sea Y = αX + β, donde α y β son constantes y X es una variable aleatoria con fdp cualquiera. Debido a las propiedades de las integrales sucede que E[Y ] =E[αX + β] = αE[X] + β V ar[Y ] = V ar[αX + β] = E[(αX + β − [αE[X] + β])2 ] = E[α2 X 2 − 2α2 XE[X] + α2 [E(X)]2 ] = E[α2 X 2 ] − 2α2 E[X]E[X] + α2 [E(X)]2 = α2 [E(X 2 ) − [E(X)]2 ] = α2 V ar(X)

La funci´n f(x) puede ser discreta, cont´ o ınua o una mezcla de ambas. Ejemplo: Un ejemplo de una variable aleatoria con fdp discreta es: f (x) = Por lo tanto, F (x) = 0, si x < 2 0.7, si x ∈ [2, 5) 1, si x≥ 5. 0.7, si x = 2 0.3, si x = 5 0, en otro caso.

E(X) = 2 ∗ 0.7 + 5 ∗ 0.3 = 1.4 + 1.5 = 2.9 V ar(X) = 0.7 ∗ (2 − 2.9)2 + 0.3 ∗ (5 − 2.9)2 = 1.89

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3 √ σ= 1.89 = 1.3748

En el caso anterior se observa que f (x) cumple con las propiedades descritas anteriormente, pues
∞

f (x)dx = 0.7 + 0.3 = 1
−∞

f (x) ≥ 0

∀x ∈ (−∞, ∞)

Funciones dedistribuci´n de probabilidad com´ nmente utilizadas: o u Distribuci´n Uniforme o Esta funci´n est´ definida como: o a f (x) =
1 b−a ,

0,

si x ∈ [a, b] en otro caso.

b>a Por lo tanto, y dado que
x x

f (s)ds =
−∞ −∞

x−a 1 ds = b−a b−a

entonces 0, F (x) =
b x−a b−a ,

1, E(X) =
a

si x < a si x ∈ [a, b] si x > b.

s

1 s2 b b+a 1 1 b2 − a2 ds = |a = = b−a b−a 2 b−a 2 2
bV ar(X) =
a b

x−

b+a 2

2

1 dx b−a
2

=
a

x2 − 2

b+a b+a x+ 2 2

1 dx b−a
2

=

1 b + a x2 b x3 b b+a |a − 2 | + b−a 3 2 2 a 2

x|b a
2

=

1 b3 − a3 1 b+a − 2 b−a 3 b−a 2

b2 − a2 1 b+a + 2 b−a 2

(b − a)

4 =

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(b + a)2 (b + a)2 a2 + ab + b2 − + 3 2 4 = = (b + a)2 a2 + ab + b2 − 3 4

a2 + 2ab + b2 a2 + ab + b2− 3 4 = a2 − 2ab + b2 12 (b − a)2 12

V ar(X) =

σx =

b−a √ 2 3

Distribuci´n Exponencial o Esta distribuci´n de probabilidad se define como o f (x) = λe−λx , si x > 0 0, en otro caso. λ>0 Demostraremos que f (x) cumple con las caracter´ ısticas t´ ıpicas de una fdp:
∞ ∞ ∞

f (x)dx =
−∞ 0

λe−λx dx = −
0

−λe−λx dx = −e−λx

x=∞ x=0

= −(0 − 1) = 1

Ahora,
x x

F (x) =...