Estadistica

MÉTODO EXPERIMENTAL II. Grupo: CC51B 10/noviembre/2008
Profesores: Mario L. Flores H. y Alberto Rojas Hernández

Regresión lineal por el método de mínimos cuadrados

La importancia de los métodos para aprovechar gráficas en el Método Experimental es innegable. Sin embargo, es necesario disponer de algoritmos adecuados no sólo para estimar los parámetros de la relaciónfuncional, sino también las incertidumbres asociadas a los mismos. En la estadística, el algoritmo más utilizado con la finalidad de ajustar rectas a relaciones funcionales experimentales con tendencia lineal es –sin duda– el que se conoce como método de mínimos cuadrados.

En este ejercicio se pretende explicar los pasos que hay que seguir en una hoja de cálculo de Excel para obtener losparámetros de una regresión lineal para datos con esa tendencia experimental. Asimismo, se presentan las ecuaciones para poder realizar los cálculos y realizar el análisis de regresión de cualquier conjunto de datos con una calculadora o a mano.

En el procedimiento de mínimos cuadrados, se hacen varias hipótesis, con el fin de obtener la “mejor recta”, la “más probable” o la de “máxima verosimilitud”con procedimientos estadísticos. Tal vez las hipótesis más importantes, expresadas en forma simple, son:

1. La fuente de los errores o las incertidumbres de las parejas de datos sólo se considerará en la dirección del eje de las ordenadas.
2. La distribución de esos errores sigue una distribución gaussiana o normal en donde la media corresponde a los valores promedio de y en cada pareja dedatos (x, y) y todas esas distribuciones tienen la misma varianza.
3. Todos los datos aportan una contribución equivalente a las varianzas de los estimadores estadísticos que se van a obtener.

Conjunto de datos con tendencia lineal
Se introducen los datos que se muestran en la tabla 1 para un experimento de adiciones patrón para determinar la concentración de una sustancia.Tabla 1. Datos espectrofotométricos. C es la concentración del analito y A(610) es la propiedad llamada absorbancia (adimensional) , que se determinó con luz de una longitud de onda igual a 610 nm.
|x = C /mg L-1 |Δx = ΔC /mg L-1 |y = A(610) |Δy = ΔA(610) |
|0.000 |0.5 |0.413 |0.005 |
|133.6 |0.5|0.527 |0.004 |
|187.0 |0.5 |0.583 |0.005 |
|240.5 |0.5 |0.629 |0.003 |
|293.9 |0.5 |0.675 |0.004 |
|347.4 |0.5 |0.733 |0.003 |
|400.8 |0.5|0.791 |0.004 |
|454.3 |1.0 |0.872 |0.005 |
|507.7 |1.0 |0.907 |0.005 |
|561.1 |1.0 |0.972 |0.004 |
|614.6 |1.0 |1.007 |0.005 |

Al graficar los datos considerando lasincertidumbres experimentales en Excel, se obtiene una gráfica como la que se muestra en la figura 1.

Es importante señalar que en el método de regresión lineal por mínimos cuadrados más simple sólo se va a hacer uso de los valores promedio (centrales) de x e y, por lo que en los cálculos las incertidumbres o desviaciones estándar de cada uno de los valores de y (mostrados en la tabla 1) no se utilizan.[pic]
Figura 1. Gráfica de los datos de la Tabla 1, considerando las incertidumbres como barras de error. Los datos muestran una tendencia lineal.

[pic]
Figura 2. Se muestra en esta pantalla la serie seleccionada con el menú en donde se utilizará la opción “Agregar línea de tendencia” para obtener una regresión lineal de los datos de la serie con un mínimo de parámetros (pendiente,...