Estadistica

PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito p y valor 0 para la probabilidad de fracaso q = 1 − p. Por lo tanto, si X es una variable aleatoria con esta distribución tenemos:
Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la seriede esos experimentos como ensayos repetidos. Esperanza matemática: E(X) = p Varianza: Var(X) = p(1 − p) = pq Función generatriz de momentos: (q + pet) Función característica: (q + peit) Moda:
0 si q > p
1 si q < p
no existe si q = p

Ejercicios
Lanzar una moneda y que salga cara. p=1/2
 Elegiruna persona de la población y que esté enfermo: p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad
 Aplicar un tratamiento a un enfermo y que éste se cure: p=95%, probabilidad de que el individuo se cure
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Distribución binomial. Suponga que se realizan n ensayos independientes Bernoulli en donde la probabilidad de ´exito en cada uno de ellos es p ∈ (0, 1). El espacio muestral deeste experimento consiste de todas las posibles sucesiones de longitud n de ´éxitos y fracasos. Usando el principio
multiplicativo, es fácil ver que este conjunto tiene 2n elementos. Si ahora se define la variable aleatoria X como el número de éxitos en cada una de estas sucesiones, entonces X toma los valores 0, 1, . . . , n, y se dice que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p.Se escribe X ∼ bin(n, p), y su función de probabilidad es
°px(1 − p)n−x si x = 0, 1, . . . , n,
°0 otro caso.
Se puede demostrar que E(X) = np, y Var(X) = np(1−p)
EJEMPLOS
1.-Un examen consta de 10 preguntas a las que contestar SI o NO. Suponiendo que a las personas se le aplica no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar, hallar probabilidad de obtenercinco aciertos. En una distribución binomial, la persona solo puede acertar o fallar la pregunta:
Suceso A (éxito)=acertar la pregunta →P=P(A)=0.5
Suceso B = no acertar la pregunta →Q=Q(B)=0.5
Distribución binomial de parámetros n=10 P=0.5 → bin(10,0.5)
SOLUCION
Sea m=5 los aciertos esperados a obtener.
Sea la distribución binomial P(X=M)= nkpkqn-k
Donde k=5; n=10; p=0.5; q=0.5→P(X=5)=105(0.5)5(0.5)10-5 //(nk)=n!k!n-k!
→P(X=5)=10!5!10-5!(0.5)5(0.5)10-5=10*9*8*7*6*5!5!*5!(0.5)5(0.5)10-5=252(0.5)5(0.5)10-5=0.2461

2.-La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado en Farmacia es 0.3. Hallar la probabilidad de que un grupo de siete estudiantes matriculados en primer cursi finalice la carrera donde ninguno de los siete acabe la carrera, así:
A=”obtener eltítulo” → P=P(A)=0.3
B=”no obtener el título”→Q=P(B)=0.7 Bin(7,0.3)
SOLUCION
Sea x=0 ya que ninguno acaba la carrera
Sea la distribución binomial P(x=k)= nkpkqn-k
Sustituyendo k=0; n=7; p=0.3; q=0.7
→P(X=0)=70(0.3)0(0.7)7-0 //(nk)=n!k!n-k!
→P(X=5)=7!0!7-0!0.300.77-0 =0.300.77-0=0.0824
3.-La probabilidad de que un alumno de 1°de bachillerato repita curso es de 0.3. elegimos 20 alumnos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente alumnos repetidores?
Es una distribución binomial, el alumno repite o pasa de curso. Consideramos suceso al éxito el que nos preguntan → El alumno repite curso P(A)=p=0.3; El alumno no repite cursoP(B)=Q=0.7
Elegimos 20 alumnos n=20
Es una distribución binomial n=20; p=0.3;Bin(20, 0.3)
Sea la distribución binomial P(x=k)= nkpkqn-k
Sustituyendo k=4; n=20; p=0.3; q=0.7
→P(X=4)=204(0.3)4(0.7)20-4 //(nk)=n!k!n-k!
→P(X=5)=20!4!20-4!0.340.720-4 =20*19*18*17*164*3*2*16!0.340.720-4
=4845(0.3)40.720-4=0.13

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Distribución normal. Esta es posiblemente la distribución de probabilidad de mayor importancia. Se dice que la variable aleatoria...