Estadistica

Tema 1. Probabilidad. 1

Problemas Resueltos del Tema 1
1- Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el
espacio muestral de este experimento aleatorio.
Solución.
El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos
elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio,
indescomponibles en otros mássimples. Como el experimento consiste en responder al
azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un
suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera
pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación
podemos escribir el espacio muestral como:
E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}
2- Otro estudianteresponde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.
a) Escriba el espacio muestral.
b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.
c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.
d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.
e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso
imposible¿Constituyen un sigma-álgebra?
Solución
a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:
(V, V, V, V) (V, V, V, F)
(F, V, V, V) (V, V, F, F)
(F, V, V, F) (F, V, F, V)
(F, V, F, F) (F, F, V, F)

(V, V, F, V) (V, F, V, V)
(V, F, V, F) (V, F, F, V)
(F, F, V, V) (V, F, F, F)
(F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será elsubconjunto del espacio
muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta
falso, lo llamaremos A y será:
A = {(V, V, V, F) ∪ (V, V, F, V) ∪ (V, F, V, V) ∪ (F, V, V, V)}
c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:
B = {(V, V, V, F) ∪ (V, V, F, V) ∪ (V, F, V, V) ∪ (F, V, V, V) ∪ (V, V, V, V)}
d) Observando los sucesoselementales que los componen se deducen inmediatamente
los siguientes resultados:
A∪B=B

A∩B=A

B- A = {(V, V, V, V)}

2 Problemas de Análisis de Datos. José M. Salinas

e) La colección formada por el suceso A, el B, la unión de ambos, su intersección, y su
diferencia, más el suceso seguro y el suceso imposible, no constituye un sigma-álgebra.
Para demostrarlo basta comprobar que se incumpleuna de las dos condiciones. Por
ejemplo, el suceso A incumple la segunda porque su contrario no pertenece a la
colección.
3- Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si
pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas latecla
azul?
Solución
a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la roja
y la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 ∩ R2).
Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la
intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La
probabilidad de estos sucesos se determinamediante la regla de Laplace de casos
favorables (uno), partido por casos posibles (tres)
P(R1 ∩ R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9
b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos
pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no
son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de lasprobabilidades menos la probabilidad de la intersección. La probabilidad de la
intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho
de que son independientes.
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9

4- Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces
seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces...