Estadistica

Distribución Geométrica
La variable aleatoria que tiene esta distribución e define para un experimento que es muy similar al experimento binomial. También se refiere a pruebas idénticas e independientes, y cada una puede tener dos resultados, éxito o fracaso. La probabilidad de tener éxito es igual a p y es constante para cada prueba. Sin embargo, la variable aleatoria geométrica Y es elnumero de la prueba en la cual ocurre el primer éxito, en lugar del numero de éxitos que ocurre en n pruebas. Entonces el experimento consiste en una serie de pruebas que termina al obtener el primer éxito. Por consiguiente, el experimento podría terminar en la primera prueba al obtener un éxito o podría seguir indefinidamente. El espacio muestral S para el experimento contiene el siguienteconjunto infinito contable de puntos muestrales

E1: S (Éxito en la prueba)
E2: FS (fracaso en la 1ra, éxito en la 2da)
E3: FFS (fracasos en la 1ra y 2da, éxito en la 3ra)
E4: FFFS
Ek: FFFF…..FS k – 1

Como la variable aleatoria Y es el número de pruebas hasta tener el 1er éxito, inclusive, Y = 1, Y = 2 y Y=3 contendrán E1, E2 y E3,respectivamente, y en general, el evento numérico Y = y contendrá solamente Ey. De este modo,
py=PEy= P(FFFF…FS)
y – 1
La probabilidad de intersección de y eventos independientes da lugar a la distribución de probabilidad geométrica.

Distribución de probabilidad geométricapy= qy-1p, y = 1, 2, 3, . . . , 0 ≤p ≤1

Un histograma de probabilidad para p(y), en donde p = 0.5 se muestra en la figura. Las areas sobre los intervalos corresponden a probabilidades, tal como era el caso de las distribuciones de frecuencias de datos, solamente que debe considerarse que Y puede tomar solamente valores discretos, y=1, 2,….., ∞.
Este tipode distribución se usa frecuentemente como modelo para las distribuciones de la longitud de tiempos de espera.
Ejemplo:
Supóngase que la probabilidad de que falle un motor durante cualquier periodo de una hora es p = 0.02. Encuentre la probabilidad de que dicho motor funcione bien durante 2 horas.
Sea Y el numero de intervalos de una hora hasta la primera falla, entonces
Pde quefuncione bien en dos horas= PY≥3= y=3∞p (y)

Como y=1∞py=1

P de que funcione bien en 2 horas= 1- y=12p(y)
=1-p-qp=1-0.02-0.980.02= 0.9604

Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabeteniendo tres hijos o más.
Este es un ejemplo de variable geométrica. Vamos a suponer que la probabilidad de tener un hijo varón es la misma que la de tener una hija hembra. Sea X la v.a.

Es claro que

Sabemos que el número esperado de hijos varones es EX= qp=1, por tanto el número esperado en total entre hijos varones y la niña es 2.
La probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres omás hijos, es la de que tenga 2 o más hijos varones (la niña está del tercer lugar en adelante), es decir,

Hemos preferido calcular la probabilidad pedida mediante el suceso complementario, ya que sería más complicado hacerlo mediante la suma infinita

Distribución Hipergeométrica
Es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que setiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x (0≤x≤d) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original.

Distribución de probabilidad hipergeométrica

py= ryN-rn-yNn y entero 0, 1, 2, …, n sujeto a las condiciones...