ESTADISTICA



Distribución poisson

La distribución de Poisson es una distribución se utiliza para modelizar eventos discretos. Eventos en los que sus resultados solo pueden ser números enteros mayores o iguales a 0. En un partido de fútbol no se pueden marcar 3.2 goles ni en una hora se pueden recibir 12.7 llamadas por teléfono. Esto no quiere decir que un equipo no pueda marcar una media de 3.2 golespor partido y una operadora no pueda recibir una media de 12.7 llamadas a la hora. Son dos cosas diferentes, una es el resultado de un determinado evento (un partido de futbol), que siempre será un número entero mayor o igual a 0, y otra la media de los resultados individuales. No se deben confundir.

Se ha demostrado estadísticamente que la distribución de Poisson se ajusta relativamente bienpara predecir el número de goles marcados en partidos de hockey. En el caso del fútbol el ajuste empeora un poco y muchos autores indican que para mejorar sus predicciones se debe realizar una corrección para resultados de 0 goles e incluso de 1 gol. Para este ejemplo nosotros utilizaremos la distribución sin ningún tipo de ajuste.

Su fórmula es la siguiente:

Prob(B=k) = exp (-m) x m^k / k!Siendo m la media y k el número de eventos sobre los que estamos calculando la probabilidad. Y esta ecuación se lee como la probabilidad de que aparezcan k sucesos en un evento con media de apariciones m.

Veamos un ejemplo:

Supongamos que el Botijos F.C. ha jugado 20 partidos y ha marcado 28 goles. ¿Que probabilidad hay de que en el siguiente partido marque exactamente 1 gol?

La mediade goles por partido es de 28 / 20 = 1,4 goles por partido

Ahora tenemos dos alternativas:

1. Ir al excel y colocar =Poisson(1;1,4;Falso)= 0.345 (esta función es para el Excel en castellano para los que tengan la configuración en ingles, el paréntesis quedaría, (1,1.4,False))

2. P(B=1) = exp (-1.4) x 1.4^1 / 1! = exp (-1.4) x 1.4 = 0.345

Es decir la probabilidad de que el Botijos FCmarque un gol es de 34.5%

Si lo que queremos saber es la probabilidad de que el Botijos meta al menos un gol. También se puede hacer por dos caminos, pero voy a usar el excel que es el más rápido. Para hacerlo debemos usar el suceso complementario. No voy a explicar esto ahora porque me llevaría una buena parrafada, pero es así:

P(B>=1) = 1 - P(B=0)

P(B>=1) = 1 - Poisson(0;1,4;Falso) = 1 -0.25 = 0.75 = 75%

Veamos ahora su aplicación al resultado de un partido. ¿Que probabilidad hay de que el partido sea under 1.5 si juega contra el Chinchorro FC, sabiendo que marca 2 goles por partido de promedio?

Para calcular esto, lo primero que debemos hacer es obtener el conjunto de resultados que cumplen en under 1.5. Son 3:

0-0, 0-1, 1-0

Calculamos ahora la probabilidad de cadauno de ellos y la probabilidad del under será la suma de todos ellos.

P(B=0, C=0) = Probabilidad de que el Botijos marque 0 goles x Probabilidad de que el Chinchorro marque 0 goles = Poisson(0;1,4;Falso) x Poisson (0;2;Falso) = 0.25 x 0.135 = 0.033

Es decir la probabilidad del 0-0 es de un 3.3%

P(B=0, C=1) = Poisson(0;1,4;Falso) x Poisson (1;2;Falso) = 0.25 x 0.41 = 0.1
P(B=1, C=0) =Poisson(1;1,4;Falso) x Poisson (0;2;Falso) = 0.59 x 0.135 = 0.08

P(Under 1.5) = 0.033 + 0.1 + 0.08 = 0.213 = 21.3%

Aplicando el mismo razonamiento del suceso complementario tendríamos que la probabilidad del over 1.5 sería de 1-0.213 = 0.787 = 78.7%

Siguiendo este mismo procedimiento se pueden modelizar todos los posibles resultados del partido para determinar, probabilidades de que gane elequipo de casa, empate, gana el equipo de fuera e incluso calcular la probabilidad de otras líneas de Over/Under, como la 2.5.

Solo un apunte final, en estos casos se suele calcular la probabilidad del resultado individual de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y más de 5 goles. Para calcular esta última se hace también por el suceso complementario

P(B>5)= 1 - P(B λ=3*4=12 pacientes/cada 180 minutos

P(X=12)...