Estadistica

Notas del Curso Modelos Lineales 2012, dictado por la Dra. Lila Ricci

Aubone, A. 19/04/12



Proposición
Si [pic], [pic] definida positiva, entonces [pic]

Prueba/
La matriz [pic] puedeponerse como [pic], donde la matriz [pic] tiene por columnas los autovectores normalizados de [pic] y la matriz [pic] es diagonal con los autovalores correspondientes en la diagonal. Por ser [pic]una matriz simétrica definida positiva, todos los autovalores son positivos. Se puede poner [pic], donde [pic] es la matriz diagonal con las raíces cuadradas de los autovalores de [pic] en la diagonal.Sea [pic] . Esta matriz es no singular pues lo son ambas matrices que la factorizan. Además [pic].

Sea [pic]. Veamos que [pic].

[pic]

Necesitamos el siguiente resultado auxiliar.

LemaLa matriz de covarianza de [pic] , con [pic] un vector aleatorio y [pic] una matriz constante, es [pic].

Prueba/
Para calcular la matriz de covarianza del vector aleatorio [pic], primerocalculamos la [pic].
La matriz de covarianza de [pic]se calcula [pic], y la matriz de covarianza de [pic]se calcula
[pic](

Nota: es fácil probar que [pic], con [pic] matrices constantes y [pic] unamatriz aleatoria, simplemente observando que en definitiva el producto [pic] resulta en una matriz cuyos coeficientes son combinaciones lineales de las componentes de la matriz aleatoria [pic], yteniendo en cuenta la linealidad de la esperanza matemática.

Luego por este Lema: [pic], pero [pic], y reemplazando se obtiene [pic].
El vector aleatorio [pic] tiene distribución normal multivariadapor ser cada componente una combinación lineal de variables aleatorias normales.
Finalmente
[pic]

La distribución [pic] se da porque [pic] es la suma de cuadrados de [pic] variables aleatoriasnormales independientes (al ser incorreladas).
Y aquí termina la demostración.(


Problema: determinar el estimador de mínimos cuadrados de [pic], para el modelo [pic], [pic] vector aleatorio,...