Estadistica

MATEMATICA APLICADA A LA ESTADISTICA

NOTACIÓN MATEMÁTICA

La sumatoria es un símbolo muy utilizado en matemáticas que sirve para simplificar formulas estadísticas. Una sumatoria nos permite representar sumas muy grandes, de n sumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con la letra griega sigma ( Σ ).
Por lo general después de una sumatoria aparece una variable con un suscritorepresentado por la letra i (ΣXi). Este suscrito indica qué valores de la variable se deben sumar, Para determinar cuáles valores es necesario sustituir la i por los valores que se indican arriba y debajo de la sumatoria
Una sumatoria se define como:
[pic]
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable irecorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente ha de cumplirse:
[pic]
Por ejemplo si queremos expresar la suma de los diez primeros números naturales podemos hacerlo así con una sumatoria:
[pic]
Las sumatorias son útiles para expresarsumas arbitrarias de números, por ejemplo en fórmulas: así, si queremos representar la «fórmula» para hallar la media aritmética de n números:
[pic]

Reglas de la sumatoria
a. Propiedad distributiva de la suma:

La propiedad distributiva de la suma indica que cuando se multiplica cada
uno de los términos que componenuna suma por la misma constante, es
posible primero efectuar la suma de los términos y luego multiplicar el
resultado por la constante.
EJEMPLO
9(2+7+4+6) = (9)2 + (9)7 +(9)4 + (9)6
= 18 + 63 + 36 + 54
= 171, ó lo mismo
9(2+7+4+6) = (9)19 = 171
Utilizando la sumatoria esta situación se representa de la siguientemanera
[pic]
b. Sumatoria de una constante:
Si se aplica la sumatoria a una constante es lo mismo que sumar la
constante a sí misma tantas veces como lo indique la sumatoria.
EJEMPLO
Si C = 5 [pic]
Como la suma del mismo número repetidas veces se puede representar por medio de la operación demultiplicación es posible indicar que si C es una constante entonces:

[pic]

c. Sumatoria de dos o más variables:

Si se aplica la sumatoria a una suma de dos o más variables el resultado es
igual a la suma de las sumatorias de estas variables.
EJEMPLO
[pic]
|i |X |Y |
|1 |2 |5 |
|2 |3 |-2 |
|3 |-1 |0 |
|4 |1 |1 |

La sumatoria es igual a:(X1+Y1)+(X2+Y2)+(X3+Y3)+(X4+Y4) = X1+X2+X3+X4+Y1+Y2+Y3+Y4
(2+5)+[3+(-2)]+[(-1)+0]+(1+1) = 2+3+(-1)+1+5+(-2)+0+1
7+1-1+2 = 9
SUCESIONES INFINITAS
 
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. En este trabajo, el intervalo de una sucesión infinita será un conjunto de números reales. Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n lecorresponde un número real f(n).Estos números del intervalo de f pueden representarse al escribir:
 
f(1),f(2),f(3),...f(n),...
 
Para obtener la forma de subíndice de una sucesión, hacemos an=f(n) para todo entero positivo n. Si consideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su grafica en un plano xy. Como el dominio de f, es el conjunto de enteros positivos, los únicospuntos de la grafica son
 
(1,a1),(2,a2),(3,a3),...,(n,an),...,
 
Donde an es el n-ésimo término de la sucesión.

De acuerdo con la definición de funciones, vemos que una sucesión  a1,a2,a3,...,an es igual a una sucesión  b1,b2,b3,...,bnsi y solo si ak=bk para todo entero positivo k.
 
Otra notación para una sucesión con n-ésimo termino an es {an}; por ejemplo, la sucesión {2n} tiene...